Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122
2)
когда
n
m
1
+
– целое число;
3)
когда p
n
m
+
+
1
– целое число.
Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл не берется в
конечном виде.
В первом случае, когда
p
– целое положительное, интегрирование вы-
полняется непосредственно. Для этого достаточно разложить бином в сумму
по формуле Ньютона.
Если
p
– целое отрицательное, то рационализация достигается с по-
мощью подстановки
μ
=
t
x
, где
μ
– общий знаменатель дробей m и n .
Во втором случае, когда
n
m
1
+
– целое число, рационализация интегра-
ла осуществляется с помощью подстановки
sn
t
bxa
=
+
, где
s
– знаменатель
дроби
s
r
p
= .
В третьем случае, когда
p
n
m
+
+
1
– целое число, подынтегральное вы-
ражение преобразуется к рациональному виду с помощью подстановки
nsn
x
t
bxa =+ , где
s
– по-прежнему знаменатель дроби
s
r
p
= . Более подроб-
ное изложение вопроса интегрирования биномиального дифференциала
смотри в [1–3].
IV. Рассмотрим интегралы вида
(
)
dxcbxaxx,R
∫
++
2
, где 0≠a и
–
рациональная функция от
x
и от
cbxax ++
2
. Этот интеграл представляет
интерес в том случае, когда квадратный трехчлен не имеет равных корней, в
противном случае мы придём к рациональной функции, которую уже умеем
интегрировать.
Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции но-
вого переменного с помощью следующих подстановок Эйлера [1]:
1. Первая подстановка Эйлера. Если 0>a , то полагаем
txacbxax
2
+±=++ .
Пример 3. Вычислить интеграл
∫
+ cx
dx
2
.
Решение. Так как здесь 01 >
=
a , то полагаем txcx +−=+
2
; тогда
222
2
t
xt
x
c
x
+−=+ , откуда
t
ct
x
2
2
−
=
. Следовательно, dt
t
ct
dx
2
2
2
+
=
,
t
ct
t
t
ct
txcx
22
22
2
+
=+
−
−=+−=+
.

Страницы