Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

124
(
)
dxxx,R
∫
cossin . (3.19)
Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки
t
x
=
2
tg
всегда
сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим
x
sin и
x
cos через
2
tg
x
, а следовательно, и через
t
:
2
222
1
2
2
1
2
tg2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin2
1
2
cos
2
sin2
sin
t
t
x
tg
x
xx
xxxx
x
+
=
+
=
+
==
.
2
2
2
2
22
2222
1
1
2
1
2
tg1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
cos
t
t
x
tg
x
xx
xxxx
x
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
.
Далее
t
x
arctg2= ,
2
1
2
t
dt
dx
+
=
.
Таким образом,
x
sin ,
x
cos и dx выразились рационально через
t
.
Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция ра-
циональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (3.19), полу-
чим интеграл от рациональной функции:
()
∫∫
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
22
2
2
1
2
1
1
,
1
2
cos,sin
t
dt
t
t
t
t
RdxxxR
.
Пример 1.
Вычислить интеграл
∫
x
dx
sin
.
Решение.
На основании написанных выше формул имеем
.
2
tglnln
1
2
1
2
sin
2
2
C
x
Ct
t
dt
t
t
t
dt
x
dx
+=+==
+
+
=
∫∫∫
Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать
всякую функцию вида )sin,(cos
x
x
R
. Поэтому её иногда называют «универ-
сальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто
приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с
"универсальной подстановкой" бывает полезно знать также другие подста-
новки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.
1. Если интеграл имеет вид
∫
xdxxR cos)(sin , то подстановка ,sin
t
x
=
d
t
x
dx =cos приводит этот интеграл к виду
∫
dttR )(
.

Страницы