Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

123
Возвращаясь к исходному интегралу, получаем
1
2
1
2
2
2
2
lnln
2
2
CcxxCt
t
dt
t
ct
dt
t
ct
cx
dx
+++=+==
+
+
=
+
∫∫∫
.
2. Вторая подстановка Эйлера. Если 0>c , то полагаем
cxtcbxax ±=++
2
.
Пример 4. Вычислить интеграл
()
∫
−++
2
11 xxx
dx
.
Решение. Полагаем
11
2
−=−+ txxx
; отсюда 121
222
+
−=
−
+
tx
x
t
x
x
и, следовательно,
1
21
2
+
+
=
t
t
x
;
(
)
()
dt
t
tt
dx
2
2
2
1
12
+
−−
=
,
1
1
1
2
2
2
+
−+
=−+
t
tt
xx
. Тогда
()
()
=
++
−=
++
−=
−++
∫∫∫
11
2
22
2
11
22
2
t
dt
tt
dt
xxx
dx
()
=
++
−
Ct 1arctg2
C
x
xxx
+
++−+
−=
11
arctg2
2
.
3. Третья подстановка Эйлера. Если квадратный трехчлен
cbxax ++
2
имеет (различные) вещественные корни
α
и
β
, то (считая
α
>
x
)
мы получаем
()()()
(
)
α−
β−
α−=β−α−=++
x
xa
xxxacbxax
2
. Следова-
тельно, подынтегральная функция рационально зависит от
x
и радикала
()
α−
β−
x
xa
, так что
(
)
(
)
dx
x
xa
xRdxcbxaxxR
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α−
β−
=++
∫∫
,,
1
2
и мы пришли к
рассмотренному выше интегралу I типа, который рационализируется с по-
мощью подстановки
()
t
x
x
=
−
−
α
β
a
. Эта подстановка и представляет собой
третью подстановку Эйлера. Более подробно изложение вопроса об исполь-
зовании подстановок Эйлера при интегрировании смотри в [2–4].
3.1.8. Интегрирование некоторых классов
тригонометрических функций
В п. 3.1.8 мы рассмотрим некоторые классы тригонометрических
функций, интегрируемых в конечном виде, для которых выработаны удобные
на практике приёмы интегрирования.
Рассмотрим интеграл вида

Страницы