Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

125
2. Если интеграл имеет вид
∫
xdxxR sin)(cos , то он приводится к инте-
гралу от рациональной функции заменой ,cos
t
x
=
d
t
x
dx
−
=
sin .
3. Если подынтегральная функция зависит только от
x
tg , то замена
,tg
t
x
=
,arctg
t
x
=
2
1
t
dt
dx
+
=
приводит этот интеграл к интегралу от рацио-
нальной функции
∫∫
+
=
2
1
)()tg(
t
dt
tRdxxR
.
4. Если подынтегральная функция имеет вид )cos,(sin
x
x
R
, но
x
sin и
x
cos входят только в чётных степенях, то применяется та же подстановка
,tg
t
x
=
так как
x
2
sin и
x
2
cos выражаются рационально через
:tg
x
22
2
1
1
tg1
1
cos
tx
x
+
=
+
=
;
;
1tg1
tg
sin
2
2
2
2
2
t
t
x
x
x
+
=
+
=
.
1
2
t
dt
dx
+
=
После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.
5. Рассмотрим теперь ещё один интеграл вида
∫
dxxxR )cos,(sin – имен-
но интеграл, под знаком которого стоит произведение
dx
x
nm
cossin (где m
и
n – целые числа). Здесь рассмотрим три случая.
5а.
∫
,cossin xdxx
nm
где m и n таковы, что, по крайней мере одно
из них нечётное число. Допустим для определённости, что
n нечётное. По-
ложим 12
+=
p
n и преобразуем интеграл
∫∫ ∫
−==
+
.cos)sin1(sincoscossincossin
2212
xdxxxxdxxxxdxx
pmpmpm
Сделаем замену переменного:
t
x
=
sin , d
t
x
dx
=
cos . Подставляя но-
вую переменную в данный интеграл, получим
∫∫
−= dtttxdxx
pmnm
)1(cossin
2
,
а это есть интеграл от рациональной функции от
t
.
Пример 2. Вычислить интеграл
∫
dx
x
x
4
3
sin
cos
.
Решение.
(
)
∫∫∫
−
==
x
xdxx
x
xdxx
dx
x
x
4
2
4
2
4
3
sin
cossin1
sin
coscos
sin
cos
.
Обозначая
d
t
x
dx
t
x
== cos,sin , получим
(
)
C
x
x
C
t
t
t
dt
t
dt
t
dtt
dx
x
x
++−=++−=−=
−
=
∫∫∫∫
sin
1
sin3
11
3
11
sin
cos
33244
2
4
3
.
5б.
∫
,cossin xdxx
nm
где m и n – числа неотрицательные и чётные.

Страницы