Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

126
Положим
p
m 2= , qn 2= . Напишем формулы, известные из тригоно-
метрии:
,2cos
2
1
2
1
sin
2
xx −= xx 2cos
2
1
2
1
cos
2
+= . (3.20)
Подставляя в интеграл, получим
∫∫
+−= .)2cos
2
1
2
1
()2cos
2
1
2
1
(cossin
22
dxxxxdxx
qpqp
Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие
x
2cos в нечётных и чётных степенях. Члены с нечётными степенями интег-
рируются, как указано в случае
5а. Чётные показатели степеней снова пони-
жаем по формулам (3.20). Продолжая так, дойдём до членов вида
∫
kxdxcos ,
которые легко интегрируются.
Пример 3. Вычислить интеграл
∫
xdx
4
sin .
Решение.
∫∫∫
=+−=−= dxxxdxxxdx )2cos2cos21(
4
1
)2cos1(
2
1
sin
22
2
4
C
x
xxdxxxx +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−=
∫
8
4sin
2sin
2
3
4
1
)4cos1(
2
1
2sin
4
1
.
5в. Если оба показателя – чётные, причём, хотя бы один из них отрица-
телен, то предыдущий прием не приводит к цели. Здесь следует сделать за-
мену
t
x
=tg (или
t
x
=ctg ).
Пример 4. Вычислить интеграл
∫
dx
x
x
6
2
cos
sin
.
Решение.
∫
dx
x
x
6
2
cos
sin
=
∫∫
+=
+
.)tg1(tg
cos
)cos(sinsin
222
6
2222
dxxxdx
x
xxx
Положим
t
x
=tg , тогда
t
x
arctg
=
,
2
1
t
dt
dx
+
= , и мы получаем
∫
∫
∫
++=++=+=
=
+
+=
C
xx
C
tt
dttt
t
dt
ttdx
x
x
5
tg
3
tg
53
)1(
1
)1(
cos
sin
5353
22
2
2
22
6
2
.
6. Рассмотрим в заключение интегралы вида
∫
nxdxmx coscos
,
∫
nxdxmxcossin
,
∫
nxdxmxsinsin
.
Они берутся при помощи следующих формул :)(
nm
≠
[]
,)cos()cos(
2
1
coscos xnmxnmnxmx −++=
[]
,)sin()sin(
2
1
cossin xnmxnmnxmx −++=

Страницы