Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128
Затем в каждом из них выберем произвольно момент времени
τ
i
, t
i
≤τ
i
≤ t
i+1
и
вычислим скорость в это момент, то есть найдем
v
i
=f(τ
i
). Если дробление
промежутка [
t
0
, T] достаточно мелко, то приближенно мы можем считать, что
в течение каждого частичного промежутка времени движение происходит
равномерно, то есть с постоянной скоростью.
Для определенности будем считать, что в течение всего
i-го промежут-
ка времени точка движется с постоянной скоростью, равной
v
i
=f(τ
i
). Тогда
путь, пройденный точкой за
i-й промежуток времени, очевидно, будет при-
ближенно равен
v
i
⋅Δt
i
и, следовательно, путь, пройденный за все время от t
0
до
Т, приближенно будет равен сумме этих величин, то есть
.)(
1
0
1
0
0
∑∑
−
=
−
=
Δτ=Δ≈
n
i
ii
n
i
ii
tftvS (3.21)
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче дробление
промежутка [
t
0
, T], то есть чем меньше частичные промежутки [t
i
, t
i+1
], и в
пределе, когда величина наибольшего частичного промежутка времени (ко-
торую мы обозначим через
λ=
i
i
t
Δ
max ) будет стремиться к нулю, получим
точное равенство
.)(lim
1
0
0
0
∑
−
=
→λ
Δτ=
n
i
ii
tfS
Таким образом, решение задачи свелось к вычислению предела суммы
вида (3.21). Мы видим, что эта сумма представляет собою некоторую пере-
менную величину, имеющую весьма специальный вид. Определение предела
такой переменной при
λ→0 будет дано ниже.
Задача 2. Пусть надо вычислить площадь фигуры, ограниченной свер-
ху графиком функции
y=f(x)≥0, x∈[a, b], c боков – ординатами x=a, x=b,
а снизу – отрезком [
a, b] (рис. 37). Эту фигуру будем называть криволиней-
ной трапецией.
Решение.
Рис. 37

Страницы