Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

129
Разобьем промежуток [
a, b] на части точками
a=x
0
< x
1
< … < x
i
< x
i+1
<…< x
n
=b
и обозначим через
Δx
i
= x
i+1
– x
i
длину промежутка [x
i
, x
i+1
]. На каждом Δx
i
по-
строим прямоугольник высотой
f(ξ
i
), где ξ
i
– произвольная точка промежутка
Δx
i
(i=0, 1, …, n – 1). Площадь этого прямоугольника равна
ii
xf Δξ )(. Пло-
щадь криволинейной трапеции равна
.)(
1
0
∑
−
=
Δξ≈
n
i
ii
xfS
(3.22)
За истинную площадь криволинейной трапеции примем
.)(lim
1
0
0
∑
−
=
→Δ
Δξ=
n
i
ii
x
xfS
i
Таким образом, мы видим, что такие понятия как путь и площадь опре-
деляются как пределы своеобразных сумм вида (3.21) и (3.22).
Перейдем к точным математическим определениям.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена в промежутке [a, b].
Разобьем этот промежуток на
n произвольных частей точками
a=x
0
< x
1
< x
2
< … < x
i
< x
i+1
<…< x
n
=b.
Будем обозначать через
λ наибольшую из длин частичных промежут-
ков
Δx
i
= x
i+1
– x
i
(i = 0, 1, …, n – 1). Выберем в каждом из частичных проме-
жутков [
x
i
, x
i+1
] произвольную точку x= ξ
i
(x
i
≤ ξ
i
≤ x
i+1
) и составим сумму:
∑
Δ
1
0
)(ξσ
−
=
=
n
i
ii
xf , (3.23)
которую будем называть
интегральной суммой или суммой Римана для
функции
f(x) на промежутке [a, b].
Говорят, что сумма
σ при λ→0 имеет конечный предел J, если, каково
бы ни было
ε>0, найдется такое число δ>0, что как только λ<δ неравенство
|
J – σ|<ε выполняется при любом выборе чисел ξ
i
. Если существует конеч-
ный предел интегральной суммы (3.23) при
λ→0, не зависящий ни от способа
дробления промежутка [
a, b] на части, ни от выбора точек ξ
i
, то этот предел
называется
определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] и обо-
значается символом
.
∫
=
b
a
dxxfJ )( (3.24)
Таким образом,
∑
∫
−
=
→
=
1
0
0λ
)Δ()(
n
i
ii
b
a
xξfdxxf lim .
Функция
f(x) в этом случае называется интегрируемой в промежутке
[
a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним предела-

Страницы