Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

131
Поэтому, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой
y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью OX, то эта площадь S
вычисляется с помощью интеграла
∫
=
b
a
dxxfS )( . (3.25)
Расширение понятия определенного интеграла
Вводя понятие определенного интеграла данной функции f(x) на сег-
менте [
a, b], мы, тем самым, предполагали, что нижний предел a интегриро-
вания меньше верхнего предела
b. Распространим теперь понятие интеграла
на тот случай, когда
a ≥ b.
Примем по определению
а) Если
a > b, то
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
(в предположении, что
∫
a
b
dxxf )( существует), то есть принимается, что при
перестановке между собой верхнего и нижнего пределов интегрирования оп-
ределенный интеграл умножается на -1.
б) 0)(
=
∫
a
a
dxxf , то есть считается, что определенный интеграл с одина-
ковыми пределами интегрирования равен нулю.
3.2.3. Основные свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного ин-
теграла, если
А=const, то
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfAdxxAf )()(
.
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функ-
ций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
[]
∫∫∫∫
±±±=±±±
b
a
b
a
b
a
b
a
nn
dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf )()()()()()(
2121
LL .
3. Для любых трех чисел
a, b, c справедливо равенство
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
,
если только все эти три интеграла существуют.
4. Если функции
f(x) и g(x) заданы в промежутке [a, b], где a < b и все-
гда
f(x)≤g(x), то

Страницы