Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

132
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(,
то есть неравенства можно почленно интегрировать.
5. Если
m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции
f(x) в промежутке [a, b], где a < b, то
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
.
6.
Теорема (о среднем). Если функция f(x) непрерывна на промежутке
[
a, b], то в этом промежутке существует хотя бы одна точка ξ такая, что
))(()(
abfdxxf
b
a
−ξ=
∫
.
3.2.4. Определенный интеграл как функция верхнего предела
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными
пределами интегрирования. Величина такого интеграла для данной подынте-
гральной функции зависит только от пределов интегрирования
a и b. Следо-
вательно, если мы будем изменять, например, верхний предел
b, то величина
интеграла будет, вообще говоря, меняться. Другими словами, интеграл с пе-
ременным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего
предела. Таким образом, если мы имеем интеграл
∫
x
a
dttf )( (3.26)
с постоянным нижним пределом
a и переменным верхним пределом x, то ве-
личина этого интеграла будет функцией верхнего предела
x. Обозначим эту
функцию через Ф(
х), то есть положим
∫
=Φ
x
a
dttfx )()(
.
Здесь переменную интегрирования мы обозначили буквой
t с тем, чтобы не
смешивать ее с верхним пределом
x (это всегда возможно сделать, если
учесть, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения пе-
ременной интегрирования).
Если
()
tf – неотрицательная функция, то величина Ф
()
x численно рав-
на площади криволинейной трапеции
aAX
x
(см. рис. 39) с основанием
[
]
xa,.
Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от изменения
x
.
Найдем производную от Ф
(
)
x по
x
, то есть найдем производную опре-
деленного интеграла (3.26) по верхнему пределу.

Страницы