Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

134
Заметим, что правую часть этой формулы часто обозначают символом
()
a
b
xF (знак двойной подстановки от a до
b
), и тогда формула (3.27) при
этом обозначении принимает вид:
()
∫
=
b
a
dxxf
()
a
b
xF =
(
)
(
)
aFbF
−
.
Заметим, что здесь в качестве
(
)
xF может быть выбрана любая перво-
образная для
()
xf из семейства
(
)
CxF
+
, и от этого разность
()
(
)
aFbF − не
изменится (ведь все первообразные отличаются друг от друга на постоянную
величину, которая при вычитании все равно уничтожается).
Итак, формула Ньютона – Лейбница, с одной стороны, устанавливает
связь между определенным и неопределенным интегралами, с другой сторо-
ны, она дает простое, эффективное средство для вычисления определенного
интеграла, которое можно сформулировать в виде
следующего правила.
Правило. Значение определенного интеграла от непрерывной функции
равно разности значений любой первообразной для неё при верхнем и ниж-
нем пределах интегрирования.
Приведём несколько примеров на применение формулы Ньютона –
Лейбница:
1.
∫
π
−=
2
0
cossin xxdx
0
2
π
10cos
2
cos =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
−= ;
2.
()
3
2
21
3
2
34
3
2
34
0
1
1
0
=−−=−−=
−
∫
x
x
dx
;
3.
62
1
arcsin1arcsin
2
1
2
arcsin
2
1
4
1
2
2
1
2
4
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==
−
∫
x
x
xdx
;
4.
()()
1
2
1
2
1
2
1
202
0
1
1
0
22
−=−==
∫
eeeedxe
xx
.
Таким образом, формула Ньютона-Лейбница даёт практически удоб-
ный способ вычисления определенных интегралов: она позволяет трудоём-
кую задачу о вычислении предела интегральной суммы свести к более легкой
в ряде случаев задаче отыскания первообразной для подынтегральной функ-
ции. Эта формула, по существу, устанавливает тесную связь между двумя
фундаментальными разделами математического анализа –
дифференциаль-
ным исчислением (куда и относится понятие первообразной) и интегральным
исчислением. Эта связь впервые была установлена Ньютоном и Лейбницем.
Именно поэтому формулу (3.27) связывают с именем Ньютона и Лейбница.

Страницы