Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

135
Только с открытием формулы (3.27) определенный интеграл смог получить
то значение в математике и её приложениях, какое он имеет в настоящее вре-
мя. Эта формула значительно расширила область применения определенного
интеграла: благодаря этой формуле стало возможным решение многих задач
геометрии, механики, физики и техники единым методом.
3.2.6. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить интеграл
()
dxxf
b
a
∫
,
где –
()
xf непрерывная в промежутке
[
]
ba, функция. Положим
(
)
tx
ϕ
= ,
подчинив функцию
()
t
ϕ
условиям:
1)
()
tϕ определена и непрерывна в некотором промежутке
[]
βα, и не
выходит за пределы промежутка
[
]
ba,, когда
t
изменяется в
[]
βα,;
2)
()
a=αϕ ,
(
)
b=βϕ ;
3) существует в
[]
βα, непрерывная производная
(
)
t
ϕ
′
.
Тогда имеет место формула
() ()
[]
()
tdttfdxxf
b
a
ϕ
′
ϕ=
∫∫
β
α
. (3.28)
Замечание 1. Подчеркнём, что при переходе к новой переменной надо
находить новые пределы интегрирования. Если при вычислении неопределен-
ного интеграла с помощью замены переменной мы возвращались к старой пе-
ременной
x
, то при вычислении определенного интеграла по формуле (3.28)
этого делать не нужно; вычислив правый интеграл в формуле (3.28), который
представляет собой число, мы, тем самым вычислим и данный интеграл.
Пример 1. Вычислить интеграл dxxa
a
∫
−
0
22
(
)
0>a .
Решение. Сделаем замену переменной:
t
a
x
sin
=
, td
t
adx cos= .
Определим новые пределы интегрирования: 0
=
x
при 0=
t
и a
x
= при
2
π
=t ; следовательно,
t
изменяется в пределах от 0 до
2
. Проверим закон-
ность такой подстановки.
Во-первых, подынтегральная функция
(
)
22
xaxf −= непрерывна в
промежутке интегрирования; во-вторых, функция
t
x
sin
=
непрерывна вме-
сте со своей производной tax
t
cos=
′
в промежутке
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
2
,0 и, в третьих, при
изменении
t
от 0 до
2
π
функция
(
)
tatx sin
=
ϕ
=
возрастает от 0 до a . При

Страницы