ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
136
этом
()
00 =ϕ и a=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
ϕ
2
. Таким образом, данная подстановка действительно
удовлетворяет всем требованиям правила о замене переменной в определен-
ном интеграле и потому мы вправе применить формулу (3.28). На основании
этой формулы указанная подстановка даёт
==⋅−=−
∫∫∫
π
π
tdtatdtataadxxa
a
2
0
2
2
0
2222
0
22
coscossin
()
2
0
2
2
2
0
2
4
1
2
2sin
2
2cos1
2
a
t
t
a
dtt
a
π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
π
π
∫
.
3.2.7. Интегрирование по частям
Для определенных интегралов имеет место формула интегрирования по
частям, аналогичная той, которая ранее была установлена нами для неопре-
деленных интегралов.
Теорема. Если функции
(
)
xu ,
(
)
xv – непрерывные вместе со своими
производными в промежутке
[
]
ba,, то имеет место формула
∫∫
−=
b
a
b
b
a
vdu
a
uvudv . (3.29)
Формула (3.29) называется
формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла
.
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
e
xdx
1
ln .
Решение. Положим
x
u ln
=
, dxdv
=
, отсюда
x
dx
du = ,
x
v
= и по
формуле (3.29) находим
1lnln
1
1
1
1
=−=−=
∫∫
e
e
e
e
xe
x
dx
xxxxdx .
Пример 2. Вычислить интеграл
∫
π
0
2
cos xdxx .
Решение. Полагаем
2
x
u
=
,
x
dxdv cos
=
; находим
x
dxdu 2= ,
x
v
sin
=
.
Используя формулу интегрирования по частям (3.29), получим
∫∫
π
π
π
−=
0
0
2
0
2
sin2sincos xdxxxxxdxx . Так как 0sin
0
2
=
π
xx , то
∫∫
ππ
−=
00
2
sin2cos xdxxxdxx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- …
- следующая ›
- последняя »
