Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

137
Интеграл
∫
π
0
sin xdxx будем снова вычислять по частям. Полагаем
x
u
=
,
x
dxdv sin= и находим dxdu = ,
x
v
cos
−
=
. Тогда
[] []
π−=+−−=+−−=
π
π
ππ
π
∫∫
2sin2cos2cos2cos2cos
0
0
00
0
2
xxxxdxxxxdxx .
Из рассмотрения этих примеров видно, что при выполнении интегри-
рования по частям иногда выгоднее производить вычисления прямо по фор-
муле (3.29), чем сначала применять метод интегрирования по частям к соот-
ветствующему неопределенному интегралу, а затем использовать формулу
Ньютона – Лейбница.
3.3. Геометрические приложения определенного интеграла
Определенный интеграл имеет разнообразные приложения в области
геометрии (вычисление площадей, объёмов, длин кривых) и механики (вы-
числение работы переменной силы и др.). Мы здесь рассмотрим некоторые
из них.
3.3.1. Вычисление площадей плоских фигур
I. Площадь фигуры в декартовых координатах
Если на отрезке
[]
ba, функция
(
)
0≥xf , то, как известно из п. 3.2.2,
площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
()
xfy
=
, осью O
X
и прямыми a
x
= и b
x
= (см. рис. 38), равна
()
dxxfS
b
a
∫
= . (3.30)
Фигуру, ограниченную непрерывной кривой
(
)
0≥
=
ygx
()
dyc
≤
≤ ,
осью O
Y
и прямыми cy = , dy = (см. рис. 40) также называют криволиней-
ной трапецией (относительно оси O
Y
). Площадь
S
такой фигуры выражает-
ся формулой
()
dyygS
d
c
∫
= . (3.31)
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводит-
ся к вычислению определенного интеграла вида (3.30) или (3.31).

Страницы