Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

121
I. Рассмотрим интеграл:
(
)
dx
∫
r/sm/n
x,...,xx,R , где
R
– рациональная
функция своих аргументов.
Пусть
k
– общий знаменатель дробей
s
r
n
m
,..., . Сделаем подстановку:
k
t
x
= , d
t
k
t
d
x
k 1
−
.
Тогда каждая дробная степень
x
выразится через целую степень
t
и,
следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную
функцию от
t
.
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
1
4/3
x
dxx
.
Решение. Общий знаменатель дробей 2
/
1, 4
/
3 есть 4; поэтому делаем
подстановку
4
t
x
= , d
t
t
dx
3
4= ; тогда
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
+
=
+
=
+
∫∫∫∫
dt
t
t
tdt
t
t
dtt
t
t
x
dxx
1
4
1
4
1
4
1
3
2
2
3
5
3
3
2
4/3
=
+
−
∫∫
dt
t
t
dtt
1
44
3
2
2
CxxCt
t
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=++−= 1ln
3
4
1ln
3
4
3
4
4
3
4
3
3
3
.
II. Рассмотрим теперь интеграл вида dx
dcx
bax
,...,
dcx
bax
x,R
s
r
n
m
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
.
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помо-
щью подстановки
k
t
dcx
bax
=
+
+
, где
k
– общий знаменатель дробей
s
r
n
m
,..., .
Пример 2. Вычислить интеграл dx
x
x
∫
+ 4
.
Решение. Делаем подстановку
2
4
t
x
, 4
2
t
x
, td
t
dx 2= ; тогда
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
−
=
+
∫∫∫
dt
t
dt
t
t
dx
x
x
4
4
12
4
2
4
22
2
=+
+
−
+=
−
+
∫∫
C
t
t
t
t
dt
dt
2
2
ln22
4
82
2
C
x
x
x
+
++
−+
++
24
24
ln242.
III. Рассмотрим интегралы вида
(
)
dxbxax
p
nm
+
∫
, где ba, – любые по-
стоянные, показатели
p
nm ,, – рациональные числа. Подынтегральное выра-
жение
(
)
dxbxax
p
nm
+
называется биномиальным дифференциалом. Как до-
казал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются
через элементарные функции только в трёх случаях:
1)
когда
p
– целое число;

Страницы