Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

117
Замечание 1. В рассматриваемом примере коэффициенты C
B
A
,, можно
было бы определить быстрее, используя метод частных значений. Действитель-
но, положим в тождестве (3.18) 0
=
x
, тогда все слагаемые справа, кроме перво-
го, уничтожаются и мы сразу получим, что
A
23
−
=
, откуда 2
/
3−=
A
. Затем,
полагая последовательно 1=
x
, 2
−
=
x
, мы аналогичным образом найдем
B
34 = , C613 = , откуда 3
/
4=
B
, 6
/
13
=
C . Если корни многочлена в знамена-
теле только простые вещественные, то для определения неизвестных коэффи-
циентов целесообразно пользоваться именно этим методом, так как он требует
затраты значительно меньшего труда. В остальных случаях для определения
неизвестных коэффициентов можно комбинировать оба метода: метод частных
значений и метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование рациональных дробей
Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби
()
()
xQ
xP
, то
есть интеграл
()
()
dx
xQ
xP
∫
.
Перед интегрированием рациональной дроби
(
)
()
xQ
xP
надо сделать сле-
дующие алгебраические преобразования и вычисления:
1)
если дана неправильная рациональная дробь, то нужно выделить из
неё целую часть, то есть представить её в виде (3.13);
2)
разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множи-
тели, то есть представить
()
xQ в виде (3.16);
3)
правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби в
виде (3.17);
4)
методом неопределенных коэффициентов или методом частных
значений вычислить неизвестные коэффициенты
i
k
i
A ,
j
e
j
M ,
j
e
j
N .
В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к интегри-
рованию многочлена и нескольких простейших дробей. Вид простейших
дробей определяется корнями знаменателя
(
)
xQ . Здесь возможны следующие
случаи.
I случай. Знаменатель имеет только действительные различные корни,
то есть разлагается на неповторяющиеся множители первой степени:
()
(
)
(
)
(
)
dx...bxaxxQ
−
−
−
= .
В этом случае дробь
()
()
xQ
xP
разлагается на простейшие дроби I типа:
()
()
dx
D
bx
B
ax
A
xQ
xP
−
++
−
+
−
= ...

Страницы