Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

115
И пусть
()
xQ , кроме того, имеет комплексные корни
mm
iii
β
+
α
β
+
α
β+α ...,,,
2211
соответственно, кратности
m
eee ...,,,
21
.
Известно, что тогда существуют и сопряженные корни
mm
iii
β
−
α
β
−
α
β−α ...,,,
2211
той же кратности. Заметим, что
()
[]
()
[
]
iiiiiiiii
qxpxxxixix ++=β+α+α−=β−α−β+α−
2
22
2
2,
где
mi ,...,2,1= ,
ii
p α−
=
2,
22
iii
q β+α= .
Из алгебры известно (теорема Безу), что всякий многочлен с вещест-
венными коэффициентами степени выше второй разлагается единственным
образом на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффи-
циентами:
() ( ) ( ) ( )
(
)
()
.
m
n
e
mm
e
k
n
kk
qxpx...
...qxpxax...axaxxQ
++
++−−−=
2
11
2
21
1
21
(3.16)
Разложение (3.16) знаменателя
(
)
xQ рациональной дроби на множители тес-
нейшим образом связано с разложением самой дроби на простейшие дроби.
Имеет место следующая теорема о рациональных дробях:
Теорема 1. Если
()
xQ
имеет вид (3.16), то всякая правильная рацио-
нальная дробь
()
()
xQ
xP
1
может быть представлена в виде суммы конечного числа
простейших дробей:
()
()
xQ
xP
1
()() ()()
...
ax
A
ax
A
ax
A
...
ax
A
ax
A
k
k
k
k
k
k
k
k
+
−
+
−
+
−
++
−
+
−
=
−
−
−
−
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
+
...
ax
A
+
−
2
1
2
()
()
...
qxpx
NxM
ax
A
...
ax
A
e
ee
n
n
k
n
k
n
n
n
+
++
+
+
−
++
−
+
1
11
11
2
11
1
(3.17)
++
++
+
+
...
qxpx
NxM
11
2
1
1
1
1
()
,
mm
mm
e
mm
e
m
e
m
qxpx
NxM
...
qxpx
NxM
m
mm
++
+
++
++
+
2
11
2
где
111
1
1
111
11
11
,,...,,,...,,,...,,,...,...,,...,,...,
111
mm
e
m
e
m
ee
n
k
n
k
NMNMNMNMAAAA
mmn
–
некоторые действительные числа.
Таким образом, зная разложение (3.16), мы, тем самым, знаем знамена-
тели всех тех простых дробей, на которые разлагается данная рациональная
дробь
()
()
xQ
xP
1
. Остановимся на определении коэффициентов
i
k
i
A ,
j
e
j
M
,
j
e
j
N
;
при этом заметим, что если степень многочлена
(
)
xQ равна n , то и всех ко-

Страницы