Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

109
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=++
a
c
x
a
b
xacbxax
22
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
22
2
222
2
a
b
a
c
a
b
x
a
b
xa
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
2
2
2
2
4
2
k
a
b
xa
a
b
a
c
a
b
xa
,
где обозначено
2
2
2
4
k
a
b
a
c
±=−
.
Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выраже-
ние, стоящее слева, положительным или отрицательным, то есть будут ли
корни трехчлена
cbxax +
+
2
комплексными или действительными.
Таким образом, интеграл
1
I принимает вид:
∫
+
+
=
cbxax
dx
I
2
1
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
1
k
a
b
x
dx
a
.
Сделаем в последнем интеграле замену переменной
t
a
b
x =+
2
, d
t
dx
=
.
Тогда получим
∫
±
=
22
1
1
k
t
dt
a
I
. Это табличные интегралы (смотри формулы
12 и 13 в таблице основных интегралов).
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
+
+
=
2082
2
x
x
dx
I .
Решение. Преобразуя трехчлен, стоящий в знаменателе, получим
∫
++
=
2082
2
x
x
dx
I
()
∫∫∫
++
=
−+++
=
++
=
62
2
1
41044
2
1
104
2
1
222
x
dx
xx
dx
xx
dx
.
Делаем замену переменной
t
x
=
+ 2, d
t
dx
=
. Подставляя в интеграл, получа-
ем табличный интеграл
C
t
t
dt
I +=
+
=
∫
6
arctg
6
1
2
1
6
2
1
2
.
Подставляя вместо
t
его выражение через
x
, окончательно находим
C
x
I +
+
=
6
2
arctg
62
1
.
II. Рассмотрим интеграл более общего вида dx
cbxax
BAx
I
∫
++
+
=
2
2
.
Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:
dx
cbxax
BAx
I
∫
++
+
=
2
2
()
dx
cbxax
a
Ab
Bbax
a
A
∫
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
=
2
2
2
2
.

Страницы