Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

106
Однако, если принять
x
u = , dxedv
x
=
и, значит dxdu
=
,
x
ev = , то формула
(3.10) быстро приводит к цели:
∫
dxxe
x
Cexedxexe
xxxx
+−=−=
∫
.
Таким образом, приведенный пример показывает, что u и d
v
нельзя
выбирать как попало. Только последний выбор оказался удачным, и это не
случайно. В самом деле, из двух множителей подынтегральной функции вто-
рой множитель (то есть
x
e ) при дифференцировании и интегрировании не
изменяется; первый же (то есть
x
) при интегрировании повышает степень, а
при дифференцировании обращается в единицу – выражение более простое,
чем он сам. Поэтому выгоднее первый множитель дифференцировать, а вто-
рой интегрировать, то есть положить
x
u
=
, dxedv
x
=
, что и сделано выше.
Пример 2. Вычислить интеграл
∫
xdxx ln
.
Решение. Этот интеграл отличается от предыдущего только тем, что
вместо
x
e стоит
x
ln . Но если бы мы здесь за u взяли
x
, а
x
dxln за d
v
, то
пришлось бы искать ещё отдельно и
v
. Хотя таким путем задачу всё-таки
можно было бы довести до конца, всё же и здесь, руководствуясь теми же со-
ображениями, что и выше, можно указать иной путь, более простой, а имен-
но: положим
x
u ln= ,
x
dxd
v
= . Отсюда
x
dx
du = ,
2
2
x
v = . Тогда
C
x
x
x
xdxx
x
x
dxx
x
x
xdxx +−=−=⋅−=
∫∫∫
4
ln
22
1
ln
22
ln
2
ln
22222
.
Замечание 1. Правило интегрирования по частям имеет более узкую
область применения, чем метод замены переменной. Однако следует иметь в
виду, что есть интегралы, которые могут быть вычислены только с помощью
метода интегрирования по частям, например, следующие: dxex
axn
∫
,
axdxx
n
sin
∫
, axdxx
n
cos
∫
, xdxx
mn
ln
∫
, xdxx
n
arctg
∫
, xdxx
n
arcsin
∫
и др.
Замечание 2. Следует иметь в виду, что разложение подынтегрального
выражения
()
dxxf на два множителя u и d
v
нужно производить так, чтобы
в правой части равенства (3.10) получился более простой интеграл, чем дан-
ный. За u надо принять такую функцию, которая упрощается при дифферен-
цировании, а множитель d
v
должен легко интегрироваться. Например, в ин-
тегралах вида axdxx
n
cos
∫
, dxex
axn
∫
, axdxx
n
sin
∫
упрощается при диффе-
ренцировании множитель
n
x
, его и надо принять за u :
n
x
u = , dxnxdu
n 1−
= ,
тогда в интеграле справа в (3.10) показатель степени уменьшится на 1. В ин-
тегралах вида xdxx
n
ln
∫
, xdxx
n
arctg
∫
, xdxx
n
arcsin
∫
более существенно уп-
рощается при дифференцировании множитель
x
ln ,
x
arctg
,
x
arcsin ; его и
принимают за u :

Страницы