Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

102
вообразных для функции
()
xf . Это и доказывает равенство (3.8) в том смыс-
ле, что правая и левая части его могут отличаться между собой разве лишь на
постоянное слагаемое.
Таким образом, для вычисления интеграла (3.7) с помощью подстанов-
ки
()
tx ϕ= нужно не только в функции
(
)
xf заменить
x
через
()
tϕ , но и dx
выразить через
t
и d
t
, то есть положить
(
)
dttdx
ϕ
′
=
. Функцию
(
)
tx ϕ= сле-
дует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл,
стоящий в правой части равенства (3.8). При вычислении неопределенного
интеграла с помощью подстановки
(
)
tx
ϕ
=
мы получаем искомую функцию,
выраженную через
t
. Чтобы возвратиться к прежней переменной
x
, доста-
точно в полученной функции заменить
t
значением, которое находится из со-
отношения
()
tx ϕ= , то есть значением
(
)
xt
=
, где
(
)
x
– обратная функция
для
()
xϕ .
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
+1
3
x
dxx
.
Решение. Здесь полезно применить подстановку
6
t
x
= , освобождаю-
щую нас от радикалов. Дифференцируем это равенство: d
t
t
dx
5
6= . Тогда
=
+
=
+
=
+
∫∫∫
1
6
1
6
1
2
8
2
53
3
t
dtt
t
dttt
x
dxx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−+−
∫
dt
t
ttt
1
1
16
2
246
Ctt
ttt
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−= arctg
357
6
357
.
(Целую часть дроби
1
2
8
+
t
t
выделяем делением).
Возвращаясь к старой переменной
x
, получим
++−+−=
+
∫
)arctg
3
1
5
1
7
1
(6
1
66
6
5
6
7
3
xxxxxdx
x
x
С.
Пример 2. Вычислить интеграл
dx
x
xx
∫
+
−+
2
132
2
.
Решение. Чтобы под радикалом в знаменателе стоял одночлен, сделаем
замену переменной вида 2
−
= u
x
)0(
+
∞
<
<
u . Имеем
dx
x
xx
∫
+
−+
2
132
2
du
u
uu
∫
−−+−
=
1)2(3)2(2
2
du
u
uu
∫
+−
=
152
2
=
duuduuduu
∫∫∫
−
+−=
2
1
2
1
2
3
52 ++−= )15256(
15
2
2
2
1
uuu С.
Возвращаясь к старой переменной
x
, получим

Страницы