Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

140
() ()
=+=
∫∫
π
−
dxxfdxxfS
2
0
0
1
=
()
()
2
3
sin
2
1
cos1
0
2
1
0
2
2
0
0
1
=+
+
=++
π
−
π
−
∫∫
x
x
dxxdxx (кв. ед.).
Пусть теперь функция
(
)
xf непрерывна на
[
]
ba, и
()
0≤xf , то есть
кривая
()
xfy = и криволинейная трапеция, ограниченная снизу этой кривой,
лежат под осью
O
X
. Рассмотрим функцию
(
)
xfy
−
=
. Эта функция уже не-
отрицательная и, следовательно, график её лежит над осью
O
X
и симметри-
чен графику функции
()
xfy = относительно оси O
X
, а криволинейная тра-
пеция
b
B
A
a
′′
, ограниченная сверху кривой
(
)
xfy
−
=
, представляет собой
зеркальное отражение первоначальной трапеции
aABb (рис. 44). Следова-
тельно, фигуры
aABb и b
B
A
a
′
′
конгруэнтны (равны), и, значит, площади их
равны. Так как площадь криволинейной трапеции
b
B
a
′
′
, лежащей над осью
O
X
, выражается формулой
()
[]
()
∫∫
−=−=
b
a
b
a
dxxfdxxfS
(3.32)
или
()
∫
=
b
a
dxxfS ,
то этой же формулой выражается площадь данной трапеции
aABb , располо-
женной под осью
O
X
.
Таким образом, если
(
)
0
≤
xf
на
[
]
ba,, то определённый интеграл (3.25)
по абсолютной величине также даёт площадь
S
криволинейной трапеции,
расположенной под осью
O
X
.
Рис. 44

Страницы