Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

141
Замечание. Формула (3.32), записанная в виде
()
∫
−=
b
a
Sdxxf , показы-
вает, что в случае
()
0≤xf
определенный интеграл
()
∫
b
a
dxxf даёт площадь
криволинейной трапеции
aABb , лежащей под осью O
X
, но взятую со знаком
минус. Это совсем не означает, что площадь отрицательна (площадь есть ве-
личина положительная), а говорит лишь о том, что перед числом
S
, выра-
жающим площадь этой трапеции, стоит знак минус.
Пусть теперь непрерывная на сегменте
[
]
ba, функция
()
xf
меняет на
нём (конечное число раз) знак, обращаясь в нуль, например, при
p
x
= , q
x
=
и
r
x
= , где b
r
q
p
a <<<< , так что некоторые части графика данной функ-
ции находятся над осью
O
X
, а другие под осью O
X
(рис. 45).
Рис. 45
В этом случае
()
∫
b
a
dxxf представляет собой алгебраическую сумму пло-
щадей тех частей фигуры, которые расположены над осью
O
X
и тех её час-
тей, которые находятся под осью
O
X
; причём первые входят в сумму со зна-
ком плюс, а вторые – со знаком минус (см. предыдущее замечание). Поэтому
площадь всей фигуры в данном случае выразится формулой
()
∫
=
b
a
dxxfS ,
или (в случае, изображенном на рис. 45):
() () () ()
∫∫∫∫
−+−=
b
r
r
q
q
p
p
a
dxxfdxxfdxxfdxxfS
.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
xxy 3
2
−= , прямой 2−=
x
и осью O
X
(см. рис. 46).
Решение. Часть фигуры находится над осью O
X
, а часть – под осью
O
X
, следовательно, искомая площадь находится следующим образом:
()()
=−−−=
∫∫
−
dxxxdxxxS
3
0
2
0
2
2
33
=
6
53
2
3
32
3
3
0
3
2
3
2
0
2
3
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
x
x
x
x
(кв. ед.).

Страницы