Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

145
2
2
1
xy = : 3
1
=
x , 6
2
=
x .
Прямой 3
=
x
разобьём данную фигуру на две части: OAC
O
и CAB
C
.
Площадь
S
данной фигуры будет равна сумме площадей этих частей:
5,13
62
3
62
1
3
2
1
3
6
3
2
0
3
3
6
3
2
3
0
22
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫∫
x
x
x
dxxxdxxxS
(кв. ед.).
II. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой,
заданной в параметрической форме
Пусть криволинейная трапеция ограничена прямыми a
x
= , b
x
= , от-
резком
[]
ba, оси OX и кривой, заданной уравнениями в параметрической
форме (рис. 52):
(
)
tx
ϕ
=
,
(
)
ty
=
, (3.35)
где
β≤≤α
t
и
(
)
a=
α
ϕ ,
()
b
=
βϕ . Пусть уравнения (3.35) определяют не-
которую функцию
()
xfy =
на отрезке
[
]
ba, и, следовательно, площадь кри-
волинейной трапеции может быть вычислена по формуле
()
dxydxxfS
b
a
b
a
∫∫
== .
Рис. 52
Сделаем замену переменного в этом интеграле:
()
tx
ϕ
=
,
(
)
dttdx ϕ
′
= .
На основании уравнений (3.35) получим
(
)
(
)
[
]
()
ttfxfy ψ=
ϕ
=
=
. Следова-
тельно,
() ()
∫
ϕ
′
=
β
α
ψ dtttS . (3.36)
Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ог-
раниченной кривой, заданной параметрически.
Пример 7. Найти площадь, ограниченную осью OX и одной «аркой»
циклоиды
()
ttax sin−= ,
(
)
tay cos1
−
= (см. рис. 53).

Страницы