Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

146
Рис. 53
Решение.
Когда круг, производящий циклоиду, сделает один полный
оборот, абсцисса той точки окружности круга, которая в начале движения
совпадала с началом координат, станет равной 2
πа (а – радиус окружности).
В формуле (3.36) надо взять
(
)
(
)
tayt cos1
−
=
=
ψ
;
()
tϕ
′
находят из
уравнения
() ( )
ttaxt sin−
=
=ϕ . Получим
(
)
(
)
tat cos1
−
=
ϕ
′
.
Пределы интегрирования будут равны 0 и 2
π, так как параметр
t
при
одном полном обороте производящего круга пробегает отрезок [0, 2
π]. По-
этому
()() ()
=−=−−=
∫∫
ππ 2
0
2
2
2
0
cos1cos1cos1 dttadttataS
()
∫∫
ππ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−=+−=
2
0
2
0
222
2
2cos1
cos21coscos21 dt
t
tadttta
=
()
π=π+π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
π
322sin
4
1
2
1
sin2
2
0
2
2
atttta
2
a (кв. ед.).
Таким образом, искомая площадь в три раза больше площади катяще-
гося круга.
III. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравне-
нием
()
θ=ρ f , где
()
θf – непрерывная функция при β≤θ
≤
α
.
Площадь криволинейного сектора
OAB (см. рис. 54), ограниченного
кривой
()
θ=ρ f и двумя полярными радиусами
α
=
и β=
()
β<α , нахо-
дится по формуле
θρ=
∫
β
α
dS
2
2
1
или
()
[]
θθ
2
1
β
α
2
dfS
∫
= . (3.37)

Страницы