Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

148
Рис. 56
Дадим определение длины дуги
A
B . Возьмём на дуге
A
B точки
BMMMMMMA
nni
=
=
−
,,...,,...,,,
1210
с абсциссами ,...,,,
210
xxxa =
bxx
ni
=,..., и проведём хорды BMMMAM
n 1211
,...,,
−
, длины которых обозна-
чим соответственно через
n
SSS
Δ
Δ
Δ
...,,,
21
. Тогда получим ломаную
BMMMAM
ni 121
......
−
, вписанную в дугу
A
B . Длина ломаной равна
∑
=
Δ=
n
i
in
sL
1
.
Определение 1. Длиной дуги
A
B называется предел (обозначим его
через
L
), к которому стремится длина вписанной ломаной, при стремлении к
нулю
i
sΔmax – наибольшей из длин отрезков ломаной, если этот предел су-
ществует и не зависит от выбора точек ломаной
BMMMMAM
nii 1121
......
−+
:
∑
=
→Δ
Δ=
n
i
i
s
sL
i
1
0max
lim .
Кривую, длина которой существует, называют спрямляемой.
I. Длина дуги в прямоугольных координатах
Теорема.
Если функция
(
)
xf непрерывна вместе со своей производной
()
xf
′
на промежутке
[]
ba,, то кривая
A
B спрямляема и длина её выражается
формулой
()
xdxf1L
b
a
∫
′
+=
2
. (3.38)
Пример 1. Вычислить длину дуги цепной линии
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−
a
x
a
x
ee
a
y
2
()
0>a (см. рис. 57) на сегменте
[
]
aa,
−
.

Страницы