Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

149
Рис. 57
Решение. Находим
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
′
−
a
x
a
x
eexf
2
1
,
()
2
22
2
2
4
1
4
24
4
1
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
+−+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
′
+
−
−
−
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
ee
ee
eexf .
Следовательно,
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
′
+
−
a
x
a
x
eexf
2
1
1
2
и мы по формуле (3.38) по-
лучаем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−
−
−
−
∫
e
eaee
a
dxeeL
a
a
a
x
a
x
a
a
a
x
a
x
1
22
1
.
Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кри-
вой задано в параметрической форме:
(
)
tx ϕ= ,
(
)
ty ψ
=
β
≤
≤
α
t , (3.39)
где
()
tϕ и
()
tψ – непрерывные функции с непрерывными производными,
причём
()
tϕ
′
на заданном участке не обращается в нуль. В этом случае урав-
нения (3.39) определяют некоторую функцию
(
)
xfy
=
, непрерывную и
имеющую непрерывную производную
(
)
()
t
t
dx
dy
ϕ
′
′
=
ψ
.
Пусть
()
αϕ=a ,
()
βϕ=b . Тогда, сделав в интеграле (3.38) подстановку
()
tx ϕ= ,
()
dttdx ϕ
′
= , получим
()
()
()
dtt
t
t
L ϕ
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ϕ
′
ψ
′
+=
∫
β
α
2
1 или
()
[]
()
[]
tdttL
∫
′
+ϕ
′
=
β
α
22
ψ . (3.40)

Страницы