Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

150
Итак, длина дуги кривой, заданной в параметрической форме (3.39) выража-
ется формулой (3.40).
Замечание. Можно доказать, что формула (3.40) остаётся в силе и для
таких кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в
одной точке (в частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках
кривой были непрерывны обе производные
(
)
t
ϕ
′
и
(
)
t
ψ
′
.
Пример 2. Вычислить длину астроиды:
⎭
⎬
⎫
=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
, (
π
≤≤ 20
t
) (рис. 58).
Решение. Так как кривая симметрична
относительно обеих координатных осей, то вы-
числим сначала длину её четвёртой части, рас-
положенной в первом квадранте. Находим:
tta
dt
dx
sincos3
2
−= , tta
dt
dy
cossin3
2
= . Параметр
t
будет изменяться от 0 до
2
π
. Следовательно,
=+=
∫
π
dtttattaL
2
0
242242
cossin9sincos9
4
1
=
∫
π
dttta
2
0
22
sincos3
=
=
∫
π
tdtta cossin3
2
0
2
3
2
sin
3
0
2
2
at
a =
π
; a
L
6
.
II. Длина дуги в полярных координатах
Наконец, рассмотрим случай, когда кривая
A
B
задана в полярных ко-
ординатах уравнением
(
)
θ
ρ f
,
β
≤
θ
≤
α
,
где
()
θf имеет непрерывную производную
(
)
θ
′
f на промежутке
[]
α,; при
этом точкам
A
и
B
соответствуют значения
α
и
. Известно, что прямо-
угольные координаты
x
и y связаны с полярными
ρ
и
θ
соотношениями
x
θ
cos ,
y
θ
sin . (3.41)
Если учесть, что
(
)
θ
=ρ f , то уравнения (3.41) можно рассматривать
как параметрическое задание кривой
A
B с параметром
θ
. Тогда,
θρ
′
=
′
cos
θθ
x
θ
sin ;
θ
′
′
sin
θθ
y θcos ,
так что
2
θ
2
2
θ
2
θ
ρ
′
+ρ=
′
+
′
yx , и формула (3.40) дает
θ
β
α
2
θ
2
dL
∫
′
+= ρρ
. (3.42)
Рис. 58

Страницы