Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

152
Площадь сечения, перпендикулярного к оси
O
X
, будет меняться вместе с пе-
ремещением секущей плоскости, то есть каждому
x
между a и b будет отве-
чать некоторое сечение с определённой площадью; поэтому площадь этого
поперечного сечения будет некоторой функцией от
x
:
()
xSS = . Предполо-
жим, что
()
xS есть непрерывная функция от
x
. Допустим, что любая пара
сечений, будучи ортогонально спроектирована на плоскость, перпендикуляр-
ную к оси
O
X
, даёт проекции, целиком лежащие одна в другой. При этих ус-
ловиях тело Т имеет объём [3]. Определим объём данного тела. Проведём
плоскости
axx
=
=
0
,
1
xx = ,
2
xx
=
,..., bxx
n
=
=
. Эти плоскости разобьют
тело
Т на слои.
В каждом частичном промежутке
ii
xxx
≤
≤
−1
выберем произвольную
точку
i
ξ и для каждого значения ni ,...,2,1
=
построим цилиндрическое тело,
образующая которого параллельна оси
O
X
, а направляющая представляет
собой контур сечения тела
Т плоскостью
i
x
ξ
=
. Объём такого элементарного
цилиндра с площадью основания
(
)
i
S
ξ
(
)
iii
xx
≤
ξ
≤
−1
и высотой
i
xΔ равен
()
ii
xS Δξ . Объём всех цилиндров будет
()
∑
=
Δξ=
n
i
iin
xSV
1
.
Предел этой суммы при
i
x
Δ
max 0→ (если он существует) называется
объёмом данного тела
()
∑
=
→Δ
Δξ=
n
i
ii
x
xSV
i
1
0max
lim .
Так как
n
V представляет собой, очевидно, интегральную сумму для не-
прерывной функции
()
xS на отрезке b
x
a
≤
≤
, то указанный предел сущест-
вует и выражается определенным интегралом:
()
dxxSV
b
a
∫
= . (3.43)
Пример 1.
Вычислить объём трёхосного эллипсоида
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
.
Решение. Данное тело (см. рис. 61) заключено между секущими плос-
костями, соответствующими значениям
a
x
−
=
и a
x
=
. В сечение эллипсои-
да плоскостью, параллельной плоскости
OYZ и отстоящей на расстоянии
x
от неё, получится эллипс:

Страницы