Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

226 úÁÄÁÞÉ
ðÒÉÍÅÒ 12. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C).
òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÊÄ¾Í Ë ÂÕÌÅ×ÙÍ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A\(B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) =
= (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = (A\B) ∩ (A\C).
ïÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÄÅÌÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÀ ÐÒÉÍÅÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÓÅ-
ÍÅÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÁË ËÁË ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ××ÏÄÑÔÓÑ
Ó ÐÏÍÏÝØÀ Ë×ÁÎÔÏÒÏ×.
ðÒÉÍÅÒ 13. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
A ∩
∪
i∈I
B
i
= ∪
i∈I
(A ∩ B
i
).
òÅÛÅÎÉÅ.
x ∈ A ∩
∪
i∈I
B
i
≡ (x ∈ A) ∧
x ∈ ∪
i∈I
B
i
≡ (x ∈ A) ∧ (∃i(x ∈ B
i
)) ≡
≡ ∃i((x ∈ A) ∧ (x ∈ B
i
)) ≡ ∃i(x ∈ (A ∩ B
i
)) ≡ x ∈ ∪
i∈I
(A ∩ B
i
).
346. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ×ÓÅÈ Þ¾ÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁ×ÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B
ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ.
347. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {x | x ∈ Z, x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6} ÒÁ×ÎÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B = {x | x ∈ Z, xÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2, xÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}.
348. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Z = {x | ∃m∃n(⊂ Z) x = 3m + 5n}.
349. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B, C, ÞÔÏ A ∈ B, B ∈ C, ÎÏ
A /∈ C.
350. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B, ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ A ∈ B É A ⊂ B.
351. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ⊂ A
n
⊂ A
1
, ÔÏ A
1
= A
2
= . . . = A
n
.
352. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A ⊂ B ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ A\B = ∅.
353. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A = B ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ A 4 B = ∅.
äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
354. A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C); 355. A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C);
356. A\(A\B) = A∩B; 357. (A\B)\C = (A\B)\(B\C); 358. A4B = B4A;
359. (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C); 360. A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C);
361. A 4 (A 4 B) = B.
362. ÷ÙÒÁÚÉÔØ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∪, \ ÞÅÒÅÚ 4, ∩.
363. ÷ÙÒÁÚÉÔØ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∩, \ ÞÅÒÅÚ 4, ∪.
364. ÷ÙÒÁÚÉÔØ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∪, ∩, ÞÅÒÅÚ 4, ∪.
365. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅÌØÚÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ \ ÞÅÒÅÚ ∪ É ∩.
366. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅÌØÚÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ∪ ÞÅÒÅÚ ∩ É \.
226                                                                        úÁÄÁÞÉ

  ðÒÉÍÅÒ 12. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C).
  òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÊÄ¾Í Ë ÂÕÌÅ×ÙÍ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×

 A\(B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) =
                                        = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = (A\B) ∩ (A\C).
   ïÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÄÅÌÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÀ ÐÒÉÍÅÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÓÅ-
ÍÅÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÁË ËÁË ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ××ÏÄÑÔÓÑ
Ó ÐÏÍÏÝØÀ Ë×ÁÎÔÏÒÏ×.
   ðÒÉÍÅÒ 13. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
                               
                       A ∩ ∪ Bi = ∪ (A ∩ Bi).
                                  i∈I         i∈I

  òÅÛÅÎÉÅ.
                               
 x ∈ A ∩ ∪ Bi ≡ (x ∈ A) ∧ x ∈ ∪ Bi ≡ (x ∈ A) ∧ (∃i(x ∈ Bi )) ≡
           i∈I                          i∈I
                 ≡ ∃i((x ∈ A) ∧ (x ∈ Bi )) ≡ ∃i(x ∈ (A ∩ Bi )) ≡ x ∈ ∪ (A ∩ Bi ).
                                                                     i∈I

   346. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ×ÓÅÈ Þ¾ÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁ×ÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B
ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ.
   347. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {x | x ∈ Z, x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6} ÒÁ×ÎÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B = {x | x ∈ Z, xÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2, xÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}.
   348. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Z = {x | ∃m∃n(⊂ Z) x = 3m + 5n}.
   349. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B, C, ÞÔÏ A ∈ B, B ∈ C, ÎÏ
A∈/ C.
   350. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B, ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ A ∈ B É A ⊂ B.
   351. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ A1, ÔÏ A1 = A2 = . . . = An.
   352. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A ⊂ B ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ A\B = ∅.
   353. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A = B ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ A 4 B = ∅.
   äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
354. A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);            355. A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C);
356. A\(A\B) = A∩B; 357. (A\B)\C = (A\B)\(B\C); 358. A4B = B 4A;
359. (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C);     360. A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C);
361. A 4 (A 4 B) = B.
   362. ÷ÙÒÁÚÉÔØ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∪, \ ÞÅÒÅÚ 4, ∩.
   363. ÷ÙÒÁÚÉÔØ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∩, \ ÞÅÒÅÚ 4, ∪.
   364. ÷ÙÒÁÚÉÔØ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∪, ∩, ÞÅÒÅÚ 4, ∪.
   365. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅÌØÚÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ \ ÞÅÒÅÚ ∪ É ∩.
   366. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅÌØÚÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ∪ ÞÅÒÅÚ ∩ É \.

Страницы