Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

228 úÁÄÁÞÉ
òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÍÐÏÚÉÃÉÑ ¡ ÜÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅ-
ÎÉÊ. ÷ ÎÁÛÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÐÅÒ×ÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f, ×ÔÏÒÙÍ ¡ g.
ðÏÜÔÏÍÕ, ÎÕÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÄ
ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f, ÔÏ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f(X). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÚÁÄÁÎÉÅÍ g ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÞÁÓÔÉ, ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÔÏÖÅ
ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÞÁÓÔÉ.
ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f, ÕÂÒÁ× ÚÎÁË ÍÏÄÕÌÑ:
f(x) =
x
3
ÐÒÉ x > 1,
−x ÐÒÉ | − 1 6 x 6 1,
x
3
ÐÒÉ x < −1.
åÓÌÉ x ∈ (1; ∞), ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ x
3
É ÍÎÏÖÅÓÔ-
×Ï (1; ∞) ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (1; ∞). îÁ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ×ÅÒÈÎÅÊ, ÔÁË É ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏ-
ËÏÊ. þÔÏÂÙ Þ¾ÔËÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÏÇÄÁ ËÁËÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÏÂØ¾Í ÔÏÞËÏÊ x = 2 ÎÁ Ä×Á ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á: (1; 2] É (2; ∞). ôÏÇÄÁ
f((1; 2]) = (1; 8] É (1; 8] ÃÅÌÉËÏÍ ÐÏÐÁÄÁÅÔ × ÓÒÅÄÎÀÀ ÓÔÒÏËÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g, Á f ((2; ∞)) = (8; ∞), ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ g. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ
(g ◦ f )(x) =
x
3
ÐÒÉ x ∈ (2; ∞),
2 − x
3
ÐÒÉ x ∈ (1; 2].
åÓÌÉ x ∈ [−1; 1], ÔÏ f([−1; 1]) = [−1; 1], Á ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÃÅÌÉËÏÍ ÐÏÐÁ-
ÄÁÅÔ × ÓÒÅÄÎÀÀ ÓÔÒÏËÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ g. úÎÁÞÉÔ,
(g ◦ f )(x) = 2 − (−x) = 2 + x ÐÒÉ x ∈ [−1; 1].
åÓÌÉ x ∈ (−∞; −1], ÔÏ f((−∞; −1)) = (−∞; −1). îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË Ó×ÏÅÊ ÓÒÅÄÎÅÊ, ÔÁË É ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ. òÁ-
ÚÏÂØ¾Í ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (−∞; −1) ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ: (−∞; −2) É [−2; −1). ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÜÔÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÏÔÄÅÌØÎÏ.
f((−∞; −2)) = (−∞; −8). îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g ÏÐÒÅÄÅÌÑ-
ÅÔÓÑ Ó×ÏÅÊ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ,
(g ◦ f )(x) = 2 + x
3
ÐÒÉ x ∈ (−∞; −2).
f([−2; −1)) = [−8; −1). îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
Ó×ÏÅÊ ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ,
(g ◦ f )(x) = 2 − x
3
ÐÒÉ x ∈ [−2; −1).
228                                                                úÁÄÁÞÉ

   òÅÛÅÎÉÅ. ëÏÍÐÏÚÉÃÉÑ ¡ ÜÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅ-
ÎÉÊ. ÷ ÎÁÛÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÐÅÒ×ÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f , ×ÔÏÒÙÍ ¡ g.
ðÏÜÔÏÍÕ, ÎÕÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÄ
ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f , ÔÏ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f (X). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÚÁÄÁÎÉÅÍ g ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÞÁÓÔÉ, ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÔÏÖÅ
ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÞÁÓÔÉ.
   ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f , ÕÂÒÁ× ÚÎÁË ÍÏÄÕÌÑ:
                            3
                            x     ÐÒÉ x > 1,
                   f (x) =    −x ÐÒÉ | − 1 6 x 6 1,
                            3
                              x    ÐÒÉ x < −1.

    åÓÌÉ x ∈ (1; ∞), ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ x3 É ÍÎÏÖÅÓÔ-
×Ï (1; ∞) ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (1; ∞). îÁ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ×ÅÒÈÎÅÊ, ÔÁË É ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏ-
ËÏÊ. þÔÏÂÙ Þ¾ÔËÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÏÇÄÁ ËÁËÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÏÂØ¾Í ÔÏÞËÏÊ x = 2 ÎÁ Ä×Á ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á: (1; 2] É (2; ∞). ôÏÇÄÁ
f ((1; 2]) = (1; 8] É (1; 8] ÃÅÌÉËÏÍ ÐÏÐÁÄÁÅÔ × ÓÒÅÄÎÀÀ ÓÔÒÏËÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g, Á f ((2; ∞)) = (8; ∞), ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ g. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ
                                   
                                       x3   ÐÒÉ x ∈ (2; ∞),
                     (g ◦ f )(x) =        3
                                     2 − x ÐÒÉ x ∈ (1; 2].

  åÓÌÉ x ∈ [−1; 1], ÔÏ f ([−1; 1]) = [−1; 1], Á ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÃÅÌÉËÏÍ ÐÏÐÁ-
ÄÁÅÔ × ÓÒÅÄÎÀÀ ÓÔÒÏËÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ g. úÎÁÞÉÔ,

               (g ◦ f )(x) = 2 − (−x) = 2 + x ÐÒÉ x ∈ [−1; 1].

   åÓÌÉ x ∈ (−∞; −1], ÔÏ f ((−∞; −1)) = (−∞; −1). îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË Ó×ÏÅÊ ÓÒÅÄÎÅÊ, ÔÁË É ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ. òÁ-
ÚÏÂØ¾Í ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (−∞; −1) ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ: (−∞; −2) É [−2; −1). ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÜÔÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÏÔÄÅÌØÎÏ.
   f ((−∞; −2)) = (−∞; −8). îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g ÏÐÒÅÄÅÌÑ-
ÅÔÓÑ Ó×ÏÅÊ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ,

                   (g ◦ f )(x) = 2 + x3 ÐÒÉ x ∈ (−∞; −2).

   f ([−2; −1)) = [−8; −1). îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
Ó×ÏÅÊ ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ,

                   (g ◦ f )(x) = 2 − x3 ÐÒÉ x ∈ [−2; −1).

Страницы