Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 229 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. ðÒÅÄÉËÁÔÙ, Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ 229
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
(g ◦ f)(x) =
x
3
ÐÒÉ x ∈ (2; ∞),
2 − x
3
ÐÒÉ x ∈ [−2; −1) ∪ (1; 2],
2 + x ÐÒÉ x ∈ [−1; 1],
2 + x
3
ÐÒÉ x ∈ (−∞; −2).
ðÕÓÔØ f : X → Y ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, B, B
1
, B
2
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÙÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
380. f
−1
(B
1
∪B
2
) = f
−1
(B
1
)∪f
−1
(B
2
); 381. f
−1
(B
1
∩B
2
) = f
−1
(B
1
)∩f
−1
(B
2
);
382. f
−1
(Y \B) = X\f
−1
(B); 383. f
−1
(B
1
\B
2
) = f
−1
(B
1
)\f
−1
(B
2
);
384. B
1
⊂ B
2
⇒ f
−1
(B
1
) ⊂ f
−1
(B
2
).
385. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ
f
−1
(B
1
) ⊂ f
−1
(B
2
) ⇒ B
1
⊂ B
2
,
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
386. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : X → Y É A ⊂ X, ÔÏ
f(A) = {y ∈ Y | ∃x(∈ X) (x ∈ A) ∧ (y = f(x))}.
ðÕÓÔØ f : X → Y ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, A
1
, A
2
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
387. f (A
1
∪ A
2
) = f(A
1
) ∪ f (A
2
); 388. f (A
1
∩ A
2
) ⊂ f(A
1
) ∩ f (A
2
).
389. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
f(A
1
) ∩ f (A
2
) ⊂ f(A
1
∩ A
2
),
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
390. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
f(A
1
)\f(A
2
) ⊂ f(A
1
\A
2
).
391. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
f(A
1
\A
2
) ⊂ f(A
1
)\f(A
2
),
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
392. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
(A
1
⊂ A
2
) ⇒ (f(A
1
) ⊂ f(A
2
)).
393. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
(f(A
1
) ⊂ f(A
2
)) ⇒ (A
1
⊂ A
2
),
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Y
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X → Y ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
394. f (f
−1
(B)) = B ∩ f(X); 395. f
−1
(B) = ∅ ⇔ B ∩ f(X) = ∅.
§5. ðÒÅÄÉËÁÔÙ, Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ                          229

  ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                         
                         
                            x3      ÐÒÉ   x ∈ (2; ∞),
                         
                           2 − x3    ÐÒÉ   x ∈ [−2; −1) ∪ (1; 2],
           (g ◦ f )(x) =
                         
                          2+x       ÐÒÉ   x ∈ [−1; 1],
                          2 + x3    ÐÒÉ   x ∈ (−∞; −2).
  ðÕÓÔØ f : X → Y ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, B, B1 , B2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÙÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
380. f −1(B1 ∪B2) = f −1(B1 )∪f −1(B2); 381. f −1(B1 ∩B2) = f −1(B1)∩f −1(B2);
382. f −1(Y \B) = X\f −1(B);            383. f −1(B1\B2) = f −1(B1)\f −1(B2);
384. B1 ⊂ B2 ⇒ f −1(B1) ⊂ f −1(B2).
  385. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ
                      f −1(B1) ⊂ f −1(B2) ⇒ B1 ⊂ B2,
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
   386. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : X → Y É A ⊂ X, ÔÏ
              f (A) = {y ∈ Y | ∃x(∈ X) (x ∈ A) ∧ (y = f (x))}.
  ðÕÓÔØ f : X → Y ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, A1 , A2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
387. f (A1 ∪ A2) = f (A1) ∪ f (A2); 388. f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1) ∩ f (A2).
  389. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
                        f (A1) ∩ f (A2) ⊂ f (A1 ∩ A2),
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
   390. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
                          f (A1)\f (A2) ⊂ f (A1\A2).
  391. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
                          f (A1\A2) ⊂ f (A1)\f (A2),
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
   392. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
                      (A1 ⊂ A2) ⇒ (f (A1) ⊂ f (A2)).
  393. ðÒÉ×ÅÓÔÉ ÐÒÉÍÅÒ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ
                      (f (A1) ⊂ f (A2)) ⇒ (A1 ⊂ A2),
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.
   äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Y
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X → Y ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
394. f (f −1(B)) = B ∩ f (X);  395. f −1(B) = ∅ ⇔ B ∩ f (X) = ∅.

Страницы