Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. æÕÎËÃÉÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ 231
415. ðÕÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : R → R ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ
f(x) =
1 + x ÐÒÉ x > 0,
1 − x ÐÒÉ x < 0.
îÁÊÔÉ f ([0; 1]), f ([−1; 2]), f
−1
([0; 1]), f
−1
([−1; 2]).
416. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : R → R, ÇÄÅ f (x) = sin x. îÁÊÔÉ
f((0; π)), f

π
4
;
5π
6

, f
−1

−
1
2
;
1
2

, f
−1
([0; 2]).
417. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
f
n
: N → N, f
n
(k) =
n − k ÐÒÉ k < n,
n + k ÐÒÉ k > n
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍ?
ðÕÓÔØ C(R) ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F : C(R) → C(R) ÉÎß-
ÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍ. îÁÊÔÉ ÏÂÒÁÔÎÙÅ Ë ÎÉÍ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ.
418. [F (f)](x) = f(e
x
); 419. [F (f)](x) = e
f(x)
; 420. [F (f)](x) = (x
2
−1)f(x);
421. [F (f)](x) = (x
2
+ 1)f(x); 422. [F (f)](x) = f(2x − 1);
423. [F (f)](x) = f
3
(x); 424. [F (f)](x) = f(x
1
3
).
425. îÁÊÔÉ ËÏÍÐÏÚÉÉÃÉÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞ 420, 421, 423 É 424.
§6. æÕÎËÃÉÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ
îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÕÌÅ×Ù ÏÐÅÒÁÃÉÉ ¬, ∧, ∨ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÏÌÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÆÕÎË-
ÃÉÊ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ (⇔ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ)
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÎÁÄ ¬, ∧, ∨.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, x | y ≡ x · y, x ↑ y ≡ x ∨ y, x ⊕ y ≡ xy ∨ xy.
åݾ ÏÄÎÏÊ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ {0, 1, ⊕, ∧}. æÏÒÍÕÌÙ ÎÁÄ
{0, 1, ⊕, &w} ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ öÅÇÁÌËÉÎÁ.
ëÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ öÅÇÁÌËÉÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ öÅÇÁÌËÉ-
ÎÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÒÁÓËÒÙÔÙ ÓËÏÂËÉ É ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÐÏÄÏÂÎÙÅ.
ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x
i
ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÉËÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ
f(x
1
, . . . , x
i−1
, 0, x
i+1
, . . . , x
n
) = f(x
1
, . . . , x
i−1
, 1, x
i+1
, . . . , x
n
).
ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x
i
× ÆÕÎËÃÉÉ f (x
1
, . . . , x
n
) ÆÉËÔÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏ-
ÇÄÁ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ öÅÇÁÌËÉÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÊ x
i
.
426. îÁÊÔÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ öÅÇÁÌËÉÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÂÕÌÅ×ÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ:
§6. æÕÎËÃÉÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ                                                                       231

   415. ðÕÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : R → R ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ
                              
                                1 + x ÐÒÉ x > 0,
                      f (x) =
                                1 − x ÐÒÉ x < 0.
îÁÊÔÉ f ([0; 1]), f ([−1; 2]), f −1([0; 1]), f −1([−1; 2]).
    416. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ
                     −1 ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ  −1 f : R → R, ÇÄÅ f (x) = sin x. îÁÊÔÉ
              π 5π                1 1
f ((0; π)), f 4 ; 6 , f        − 2 ; 2 , f ([0; 2]).
    417. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
                                               
                                                  n − k ÐÒÉ k < n,
                 fn : N → N,         fn(k) =
                                                  n + k ÐÒÉ k > n
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍ?
   ðÕÓÔØ C(R) ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F : C(R) → C(R) ÉÎß-
ÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍ. îÁÊÔÉ ÏÂÒÁÔÎÙÅ Ë ÎÉÍ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ.
418. [F (f )](x) = f (ex); 419. [F (f )](x) = ef (x) ; 420. [F (f )](x) = (x2 −1)f (x);
421. [F (f )](x) = (x2 + 1)f (x);                      422. [F (f )](x) = f (2x − 1);
                                                        1
423. [F (f )](x) = f 3(x);    424. [F (f )](x) = f (x 3 ).
   425. îÁÊÔÉ ËÏÍÐÏÚÉÉÃÉÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞ 420, 421, 423 É 424.


   §6. æÕÎËÃÉÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ
   îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÕÌÅ×Ù ÏÐÅÒÁÃÉÉ ¬, ∧, ∨ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÏÌÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÆÕÎË-
ÃÉÊ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ (⇔ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ)
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÎÁÄ ¬, ∧, ∨.
   ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, x | y ≡ x · y, x ↑ y ≡ x ∨ y, x ⊕ y ≡ xy ∨ xy.
   åݾ ÏÄÎÏÊ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ {0, 1, ⊕, ∧}. æÏÒÍÕÌÙ ÎÁÄ
{0, 1, ⊕, &w} ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ öÅÇÁÌËÉÎÁ.
   ëÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ öÅÇÁÌËÉÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ öÅÇÁÌËÉ-
ÎÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÒÁÓËÒÙÔÙ ÓËÏÂËÉ É ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÐÏÄÏÂÎÙÅ.
   ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ xi ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÉËÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ
        f (x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn).
ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ xi × ÆÕÎËÃÉÉ f (x1, . . . , xn) ÆÉËÔÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏ-
ÇÄÁ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ öÅÇÁÌËÉÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÊ xi.
   426. îÁÊÔÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ öÅÇÁÌËÉÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÂÕÌÅ×ÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ:

Страницы