Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

230 úÁÄÁÞÉ
396. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÅÎÉÑ X ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X → Y ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ A ⊂ f
−1
(f(A)).
ðÕÓÔØ f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
397. f (A) ∩ B = f(A ∩ f
−1
(B)); 398. f (A) ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ f
−1
(B) = ∅;
399. f (A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f
−1
(B).
ðÕÓÔØ f : X → Y , g : Y → Z, A ⊂ X, C ⊂ Z. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
400. (g ◦ f )
−1
(C) = f
−1
(g
−1
(C)); 401. (g ◦ f )(A) = g(f(A)).
402. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A ⊂ X, B ⊂ X, i
A
: A → X ¡ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
×ËÌÀÞÅÎÉÑ, ÔÏ i
−1
A
(B) = A ∩ B.
403. ðÕÓÔØ f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y , g = f |
A
: A → Y ¡ ÓÕÖÅÎÉÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁ A. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ g
−1
(B) = A ∩ f
−1
(B).
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : X → Y ¡ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A, A
1
, A
2
ÅÇÏ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ X ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
404. f (A
1
∩ A
2
) = f (A
1
) ∩ f(A
2
); 405. f (A
1
\A
2
) = f (A
1
)\f(A
2
);
406. A
1
⊂ A
2
⇔ f (A
1
) ⊂ f (A
2
); 407. f
−1
(f(A)) = A.
408. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X → X É ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ n ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ f
n
= e
X
. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ.
409. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ◦ g ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ, ÔÏ g ÔÁËÖÅ ÉÎß-
ÅËÔÉ×ÎÏ.
410. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ◦ g ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ. ÔÏ f ÔÁËÖÅ
ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ.
411. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B, C, D É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : A → B,
g : B → C, h : C → D. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g ◦ f É h ◦ g
ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f, g, h ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ.
412. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B, C É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : A → B, g : B →
→ C, h : C → A. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ h ◦ g ◦ f, g ◦ f ◦ h,
f ◦ h ◦ g Ä×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍÉ (ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍÉ), Á ÔÒÅÔØÅ ÓÀÒßÅË-
ÔÉ×ÎÏ (ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ), ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f, g, h ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ.
äÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ f, g : R → R ÎÁÊÔÉ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ f ◦ g, g ◦ f.
413.
f(x) =
1 + x ÐÒÉ x > 0,
1 − x ÐÒÉ x < 0;
g(x) =
1 + x ÐÒÉ x > 1,
2x ÐÒÉ x < 1;
414.
f(x) =
x
2
ÐÒÉ x > 1,
x ÐÒÉ x < 1;
g(x) =
|x| ÐÒÉ x < 2,
4 − x ÐÒÉ x > 2.
230                                                                      úÁÄÁÞÉ

   396. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÅÎÉÑ X ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X → Y ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ A ⊂ f −1(f (A)).
  ðÕÓÔØ f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
397. f (A) ∩ B = f (A ∩ f −1(B));  398. f (A) ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ f −1(B) = ∅;
399. f (A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f −1(B).
  ðÕÓÔØ f : X → Y , g : Y → Z, A ⊂ X, C ⊂ Z. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
400. (g ◦ f )−1(C) = f −1(g −1(C)); 401. (g ◦ f )(A) = g(f (A)).
  402. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A ⊂ X, B ⊂ X, iA : A → X ¡ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
×ËÌÀÞÅÎÉÑ, ÔÏ i−1A (B) = A ∩ B.
  403. ðÕÓÔØ f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y , g = f |A : A → Y ¡ ÓÕÖÅÎÉÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁ A. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ g −1(B) = A ∩ f −1(B).
   äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : X → Y ¡ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A, A1 , A2 ÅÇÏ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ X ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
404. f (A1 ∩ A2 ) = f (A1) ∩ f (A2);          405. f (A1\A2 ) = f (A1)\f (A2);
406. A1 ⊂ A2 ⇔ f (A1) ⊂ f (A2);      407. f (f (A)) = A.
                                           −1

   408. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X → X É ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ n ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ f n = eX . äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ.
   409. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ◦ g ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ, ÔÏ g ÔÁËÖÅ ÉÎß-
ÅËÔÉ×ÎÏ.
   410. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ◦ g ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ. ÔÏ f ÔÁËÖÅ
ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ.
   411. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B, C, D É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : A → B,
g : B → C, h : C → D. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g ◦ f É h ◦ g
ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f , g, h ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ.
   412. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B, C É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : A → B, g : B →
→ C, h : C → A. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h,
f ◦ h ◦ g Ä×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍÉ (ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍÉ), Á ÔÒÅÔØÅ ÓÀÒßÅË-
ÔÉ×ÎÏ (ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ), ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f , g, h ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ.
  äÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ f, g : R → R ÎÁÊÔÉ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ f ◦ g, g ◦ f .
413.
                                           
                1 + x ÐÒÉ x > 0,              1 + x ÐÒÉ x > 1,
      f (x) =                        g(x) =
                1 − x ÐÒÉ x < 0;                2x  ÐÒÉ x < 1;

414.
                                                
                      x2   ÐÒÉ x > 1,                 |x|   ÐÒÉ x < 2,
        f (x) =                         g(x) =
                      x    ÐÒÉ x < 1;                4−x    ÐÒÉ x > 2.

Страницы