Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. ðÒÅÄÉËÁÔÙ, Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ 227
367. ðÕÓÔØ A = {1; 4; 5}, B = {2; 4; 6}. îÁÊÔÉ A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A,
A 4 B.
368. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔØ ×ÓÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 2; 3}, ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
369. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ 2
A∩B
= 2
A
∩2
B
, ÇÄÅ 2
A
¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A.
370. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× A
1
⊃ A
2
⊃ . . . A
n
⊃ . . .
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ∩
n∈N
A
n
= ∩
n
k
∈N
A
n
k
ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-
ÎÏÓÔÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ {n
k
}
∞
k=1
.
ðÕÓÔØ nZ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ n. îÁÊÔÉ:
371. nZ ∩ mZ; 372.
∞
∪
n=2
nZ; 373.
∞
∩
n=1
nZ; 374. ∪
p∈P
pZ, ÇÄÅ P ¡
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ; 375. ∪
n∈N
1
n
; 1 −
1
n
; 376. ∩
n∈N
−
1
n
; 1 +
1
n
.
377. ðÕÓÔØ C([a; b]) ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÏÐÒÅÄÅ̾Î-
ÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b],
C
3
x
([a; b]) = {f ∈ C([a; b]) | f (x) = 3}.
îÁÊÔÉ ∪
x∈[a;b]
C
3
x
([a; b]), ∩
x∈[a;b]
C
3
x
([a; b]).
äÏËÁÚÁÔØ:
378. B ∩
∪
i∈I
A
i
= ∪
i∈I
B ∩ A
i
; 379. B ∪
∩
i∈I
A
i
= ∩
i∈I
B ∪ A
i
.
5.2. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (ÆÕÎËÃÉÑ) f ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÉÚ X × Y , ÜÔÏ
ÔÒÏÊËÁ (X, Y, f ), ÇÄÅ X, Y ¡ ÎÅÐÕÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Á f ¡ ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÓÏÐÏÓÔÁ-
×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ x ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÜÌÅÍÅÎÔ f (x) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
Y . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ¡ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÏÅË.
îÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÉÍÅÒÙ ÎÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÐÒÁ×ÉÌÁÍÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 14. ðÕÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f, g : R → R ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ:
f(x) =
x
3
ÐÒÉ |x| > 1,
−x ÐÒÉ |x| 6 1;
g(x) =
x ÐÒÉ x > 8,
2 − x ÐÒÉ |x| 6 8,
2 + x ÐÒÉ x < −8.
îÁÊÔÉ g ◦ f.
§5. ðÒÅÄÉËÁÔÙ, Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ                                          227

  367. ðÕÓÔØ A = {1; 4; 5}, B = {2; 4; 6}. îÁÊÔÉ A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A,
A 4 B.
  368. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔØ ×ÓÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 2; 3}, ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
  369. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ 2A∩B = 2A ∩2B , ÇÄÅ 2A ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A.
  370. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ⊃ A2 ⊃ . . . An ⊃ . . .
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ∩ An = ∩ Ank ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-
                  n∈N            nk ∈N
ÎÏÓÔÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ {nk }∞
                             k=1 .
   ðÕÓÔØ nZ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ n. îÁÊÔÉ:
                         ∞               ∞
371. nZ ∩ mZ;      372. ∪ nZ;      373. ∩ nZ;      374. ∪ pZ, ÇÄÅ P ¡
                        n=2             n=1             p∈P 
                                     1      1
                                                                      
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ;      375. ∪ n ; 1 − n ;   376. ∩ − n1 ; 1 + n1 .
                                                 n∈N                            n∈N
  377. ðÕÓÔØ C([a; b]) ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÏÐÒÅÄÅ̾Î-
ÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b],
                        Cx3([a; b]) = {f ∈ C([a; b]) | f (x) = 3}.
îÁÊÔÉ     ∪ Cx3([a; b]),        ∩ Cx3([a; b]).
        x∈[a;b]               x∈[a;b]
  äÏËÁÚÁÔØ:
                                                                               
378. B ∩ ∪ Ai = ∪ B ∩ Ai ;                       379. B ∪       ∩ Ai = ∩ B ∪ A i .
            i∈I         i∈I                                     i∈I       i∈I


5.2. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ

    îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (ÆÕÎËÃÉÑ) f ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÉÚ X × Y , ÜÔÏ
ÔÒÏÊËÁ (X, Y, f ), ÇÄÅ X, Y ¡ ÎÅÐÕÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Á f ¡ ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÓÏÐÏÓÔÁ-
×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ x ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÜÌÅÍÅÎÔ f (x) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
Y . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ¡ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÏÅË.
    îÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÉÍÅÒÙ ÎÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÐÒÁ×ÉÌÁÍÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ.
    ðÒÉÍÅÒ 14. ðÕÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f, g : R → R ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ:
                                   3
                                     x   ÐÒÉ |x| > 1,
                          f (x) =
                                    −x ÐÒÉ |x| 6 1;
                                
                                 x       ÐÒÉ x > 8,
                        g(x) =     2 − x ÐÒÉ |x| 6 8,
                                
                                   2 + x ÐÒÉ x < −8.
îÁÊÔÉ g ◦ f .

Страницы