Нелинейные и линейные колебания математического маятника в прецизионном измерении ускорения свободного падения. Сапогин В.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

5
ния маятника). При записи (4.2) векторное произведение обозначено как
[
]
b,ac
r
rr
= .
Момент внешней силы, действующей на маятник, имеет вид:
[]
[
]
[
]
k,mgrg,rmgm,rM
r
r
r
r
r
r
r
τ
===
. (4.3)
При получении (4.3) учтено, что
kgg
r
r
= .
Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1), упростим уравнение движения ММ
[
]
k,mgrI
r
r
r
τ
=Ω . (4.4)
Если левую и правую части (4.4) умножить скалярно на
Ω
r
, то получим равен-
ство скоростей изменения кинетической вращательной энергии ММ и аналога
его потенциальной энергии
[]
)k,(mgr
dt
dI
dt
d
r
r
τ
=
Ω
2
2
(4.5)
При получении (4.5) учтено тождество Лагранжа
[
]
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
d,ac,bd,b)(c,ad,c,b,a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−= , (4.6)
и равенства
()
,, 1=
τ
τ
rr
(
)
0=
ττ
r
&
r
, (векторы перпендикулярны друг другу). В тож-
дестве введено обозначение скалярного произведения векторов
)b,a(c
r
rr
= .
С учётом того, что
k
r
- вектор постоянного направления
()
(
)
(
)
(
)
k,k,k,k,
dt
d
r
&
r
&
r
r
r
&
r
r
r
ττττ
=+=
из (4.5) следует закон сохранения полной вращательной механической энергии
ММ
()
constEmgrk,
I
==−
Ω
r
r
τ
2
2
. (4.7)
Раскрывая скалярное произведение
(
)
θτ
cosk, =
r
r
и заменяя r=l (длина ни-
ти маятника), получим
constE)(U
I
==+
Ω
θ
2
2
, (4.8)
где
)
cos
mg
l
)
(
U
θ
θ
−= - эффективная потенциальная энергия ММ.
Фундаментальный закон сохранения (4.8) утверждает, что любые
движения ММ происходят таким образом, что приращение его вращатель-
ной кинетической энергии может возникать только за счет убыли его эф-
фективной потенциальной энергии.
В сферической системе координат
2222
ϕθθ
&
&
⋅+=Ω sin . (4.9)
При рассмотрении плоских движений маятника в (4.9) нужно положить
0=
ϕ
&
или cons
t
=
ϕ
(см. рис. 4.1). Тогда решение задачи плоского движения
ММ (нахождение
)
t
(
θ
θ
=
) сводится к интегрированию следующего выражения

Страницы