Составители:
Рубрика:
Случайные погрешности 12
X = x
1
± 2σ = 1.87 ± 0.20c, для P = 0.95 .
У читателя может возникнуть вопрос: раз мы провели много измере-
ний, чтобы оценить σ, зачем же указывать результат какого-либо еди-
ничного измерения когда среднее значение ¯x, рассчитанное из многих
измерений, ближе к истинному? Чтобы понять, зачем нужно знать σ,
рассмотрим следующую ситуацию.
Пусть после того как измерили период маятни-
-
x
6
f(x)
2
4
6
0
0.5
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
σ=0.5
σ=1
Рис. 6. Распределе-
ние Гаусса
ка и получили ¯x = 2.00 с и σ = 0.10 с (см. при-
мер 3 на стр. 7), мы выполним всего лишь одно
измерение периода другого маятника и получим,
например значение 2.52 с. Можно ли указать по-
грешность этого результата? Да, можно. Это изме-
рение имеет ту же среднюю квадратическую по-
грешность σ = 0.10 с, поскольку оно произведено
в тех же самых условиях: тем самым человеком,
тем же методом, с помощью того же самого се-
кундомера, и период второго маятника не слишком сильно отличается
от периода первого. Итак, результат измерения периода второго маят-
ника равен 2.52 ± 0.10 с для P = 0.68. Такие случаи, когда неизвестная
величина измеряется всего лишь один раз, а случайные погрешности по-
добных измерений хорошо изучены (т.е. известно σ), часто встречаются
на практике.
Приведём математическое выражение для распределения Гаусса (нор-
мального распределения)
f(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−X)
2
2σ
2
, (10)
где X — истинное значение измеряемой величины; σ — средняя квадра-
тическая погрешность, рассмотренная выше (σ
2
— дисперсия).
Функция f(x), называемая плотностью распределения результатов
измерения, имеет следующий смысл: f(x)dx есть вероятность того, что
отдельное случайно выбранное значение многократно измеряемой вели-
чины окажется в интервале от x до x + dx. В качестве примера на рис. 6
показаны две кривые нормального распределения для X = 4 при различ-
ных значениях параметра σ. Из рис. 6 видно, что при уменьшении σ кри-
вая нормального распределения сжимается вдоль оси Ox и вытягивается
Случайные погрешности 12
X = x1 ± 2σ = 1.87 ± 0.20c, для P = 0.95 .
У читателя может возникнуть вопрос: раз мы провели много измере-
ний, чтобы оценить σ, зачем же указывать результат какого-либо еди-
ничного измерения когда среднее значение x̄, рассчитанное из многих
измерений, ближе к истинному? Чтобы понять, зачем нужно знать σ,
рассмотрим следующую ситуацию.
Пусть после того как измерили период маятни-
ка и получили x̄ = 2.00 с и σ = 0.10 с (см. при-
f (x)
6 мер 3 на стр. 7), мы выполним всего лишь одно
1
.......
измерение периода другого маятника и получим,
... ...
... ...σ=0.5
0.5
... .....
.
. .
например значение 2.52 с. Можно ли указать по-
................................
....... ... ..σ=1
..
.. .
.... ..
... ... ....
... ....
... ....... грешность этого результата? Да, можно. Это изме-
....... ..... .......... ........ x
....... ...........
.............................
0
рение имеет ту же среднюю квадратическую по-
-
2 4 6
грешность σ = 0.10 с, поскольку оно произведено
Рис. 6. Распределе- в тех же самых условиях: тем самым человеком,
ние Гаусса тем же методом, с помощью того же самого се-
кундомера, и период второго маятника не слишком сильно отличается
от периода первого. Итак, результат измерения периода второго маят-
ника равен 2.52 ± 0.10 с для P = 0.68. Такие случаи, когда неизвестная
величина измеряется всего лишь один раз, а случайные погрешности по-
добных измерений хорошо изучены (т.е. известно σ), часто встречаются
на практике.
Приведём математическое выражение для распределения Гаусса (нор-
мального распределения)
1 (x−X)2
f (x) = √ e− 2σ2 , (10)
σ 2π
где X — истинное значение измеряемой величины; σ — средняя квадра-
тическая погрешность, рассмотренная выше (σ 2 — дисперсия).
Функция f (x), называемая плотностью распределения результатов
измерения, имеет следующий смысл: f (x)dx есть вероятность того, что
отдельное случайно выбранное значение многократно измеряемой вели-
чины окажется в интервале от x до x + dx. В качестве примера на рис. 6
показаны две кривые нормального распределения для X = 4 при различ-
ных значениях параметра σ. Из рис. 6 видно, что при уменьшении σ кри-
вая нормального распределения сжимается вдоль оси Ox и вытягивается
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
