Обработка результатов измерения при проведении физического эксперимента. Савельева А.И - 15 стр.

                         Случайные погрешности                        14


   Соотношение (11) имеет большое значение в теории погрешностей.
Во-первых, из него видна определяющая роль σ, от которой зависят по-
грешности не только единичного измерения, но и усреднённого резуль-
тата. Во-вторых, (11) представляет собой закон уменьшения случайной
погрешности при росте числа измерений. Например, желая уменьшить
погрешность в 2 раза, мы должны сделать вместо одного четыре измере-
ния; чтобы уменьшить погрешность в 3 раза — 9 измерений, а 100 изме-
рений уменьшают погрешность результата в 10 раз. Этот путь уменьше-
ния случайной погрешности часто используют на практике. При этом не
следует забывать, что формула (11) справедлива только для случайной
составляющей погрешности измерений. Систематическая погрешность, а
также в значительной мере инструментальная погрешность не уменьша-
ются при росте числа измерений.
   Вычисленное выше значение σx̄ = 0.05 с отметим на рис. 3г и под-
считаем, сколько средних xi попало в интервал (X − σx̄ , X − σx̄ ), т.е.
1.95 . . . 2.05 с. Как и следовало ожидать из свойств нормального распре-
деления, в указанный интервал попало около 68% средних значений.
Это означает, что с вероятностью P = 0.68 среднее x̄ отклонится от
X не более чем на σx̄ . Таким образом, всё сказанное о связи между
доверительной вероятностью P (k) и погрешностью ∆x = kσ единично-
го измерения справедливо и для погрешности ∆x̄ среднего. При этом
нужно только заменить σ на σx̄ .
   Если в качестве результата измерения берётся среднее x̄ из n изме-
рений, то
                                   X = x̄ ± σ                        (12)
Причём полуширину доверительного интервала ∆x̄ (погрешность сред-
него) для заданной доверительной вероятности P (k) можно определить
следующим образом.

  1. Предположим, что из большой серии каких-либо измерений зна-
     чение σ известно; оно характеризует погрешность данного метода
     измерений. Тогда для новой серии подобных измерений погреш-
     ность среднего значения

                                           kσ
                              ∆x̄ = kσx̄ = √ ,                       (13)
                                            n
     где n — число проведённых измерений исследуемой величины.