Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 23 стр.

                        max U (x1, x2, … , xn) при условии, что
                          Xi
      (2.4)
                                     p1·x1 + … + pn·xn = I
     Легко видеть, что мы имеем дело с задачей на условный экстремум, которую можно решить,
используя метод множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи:

     L = U ( x , x ,..., x ) − λ ⋅ ( p ⋅ x
               1   2      n          1   1
                                             + p2 ⋅ x2 + ... + pn ⋅ xn − I )
     Необходимым условием (или условием первого порядка) максимума функции является
     равенство нулю всех её частных производных:
                         ∂L ∂U ( x1 ,..., xn )
                             =                 − λ ⋅ p1 = 0
                         ∂x1      ∂x1
                         ∂L ∂U ( x1 ,..., xn )
                             =                 − λ ⋅ p2 = 0
                         ∂x2     ∂x2

      (2.5)              M
                         ∂L ∂U ( x1 ,..., xn )
                             =                 − λ ⋅ pn = 0
                         ∂xn     ∂xn
                         ∂L
                            = I − p1 x1 − p2 x2 − ... − pn xn = 0
                         ∂λ


Мы получим систему из n+1 уравнения с n+1 неизвестными. Напомним, что в каждый данный

момент времени доход потребителя (I) – фиксированная величина; рыночные цены благ ( p1 ,..., pn )
                                                                                      *   *    *
также остаются неизменными. Решив эту систему уравнений, мы найдём значения x1 , x2 ,..., xn ,
которые являются оптимальными количествами каждого из благ, то есть такими количествами,
которые максимизируют полезность индивида от потребления данного товарного набора при
заданном бюджетном ограничении. Именно на эти количества каждого блага наш потребитель
предъявит спрос на рынке.
     Разумеется, условие первого порядка является лишь необходимым, но не достаточным
     условием максимума функции. Мы значительно облегчим задачу, введя предпосылку о строгой
     выпуклости отношения предпочтения. Если данная предпосылка выполняется, то условие
     первого порядка позволяет определить действительно максимум, а не минимум функции.
     Давайте вновь вернёмся к системе уравнений (2.5) и дадим экономическую интерпретацию
условия первого порядка. Выпишем первые два уравнения:
            ∂U
                − λ ⋅ p1 = 0
            ∂x1

                                                                                               23