Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 26 стр.

     Рассмотрим рис. 2.1. Пусть доход потребителя и цены обоих благ увеличились в        α   раз:
                                                                                    α ⋅ p1 p1
α ⋅ I , α ⋅ p1 , α ⋅ p2 . В этом случае наклон бюджетной линии (БО) не изменится:         =   ..
                                                                                    α ⋅ p2 p2
Останутся прежними и точки пересечения бюджетной линии с осями координат:
     α⋅I    I                     α⋅I    I
           = ;                         =   .
     α ⋅ p1 p1                   α ⋅ p2 p2
     Следовательно, не изменится и бюджетное множество, то есть множество доступных для
     потребителя товарных наборов. Если же неизменным остаётся бюджетное множество, то и
     оптимальный набор потребителя останется тем же самым.
     Пример. Рассмотрим функцию полезности Кобба-Дугласа:

            x              1       где k, a, b = const и k, a, b >0.
Задача потребительского выбора для этой функции будет выглядеть следующим образом:
               a    b
     max (k ⋅ x1 ⋅ x2 ) при условии, что
      x1 , x 2

     p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 = I
Поскольку в данной задаче только две переменные, то нет смысла решать её методом множителей
Лагранжа. Воспользуемся сразу условием оптимума:

                           ∂U ∂x1 p1
                 MRS =           =
                           ∂U ∂x2 p2
                 p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 = I
Продифференцировав функцию полезности по x1 и x2, имеем:

                 a ⋅ x2 p1
                       =
                 b ⋅ x1 p2
                 p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 = I
Решив эту систему уравнений относительно x1 и x2, получаем функции некомпенсированного спроса
потребителя на первое и второе блага:

              a                                 b
                  )⋅I  (                      (     )⋅I
(2.10)
       X1 =
        *   a + b     ;                  X2 =
                                          *   a + b
               p1                                p2
     Обратите внимание, что в случае функции полезности Кобба-Дугласа денежные расходы на
покупку каждого из благ, входящих в товарный набор, составляют постоянную долю от дохода,
которая определяется предпочтениями потребителя в отношении этих благ. Так, на покупку первого



                                                                                              26