Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 29 стр.

полезности является непрерывной, возрастающей, строго квази-вогнутой и дифференцируемой во
всех точках. Бюджетное множество является ограниченным, замкнутым, непустым и выпуклым.

Пусть требуемый уровень полезности U ( x1 ,..., xn ) = U > U (0,...,0) = 0 . Пусть наша задача имеет
решение   в         виде        «внутреннего»    минимума,       при   котором   потребитель   покупает   только
положительные, а не нулевые количества всех благ из товарного набора, то есть xi > 0 ∀i .

     Проблема минимизации расходов при заданном уровне полезности U имеет следующий вид:

              min ( p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn ) при условии, что
              x1 ,..., xn

 (2.14)
                                  U ( x1 ,..., xn ) = Ū
     Очевидно, что эта задача аналогична первичной проблеме максимизации полезности, но
     целевые функции и ограничения у этих двойственных проблем «меняются местами». Здесь мы
     снова имеем дело с задачей на условный экстремум. Поэтому выпишем функцию Лагранжа:


 (2.15)    L = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 + ... + pn ⋅ xn − λ ⋅ (U ( x1,..., xn ) − U )
Необходимым условием (или условием первого порядка) минимума этой функции является
равенство нулю всех её частных производных:

                                ∂L             ∂U ( x1 ,..., xn )
                                    = p1 − λ ⋅                    =0
                                ∂x1                  ∂x1
                                ∂L             ∂U ( x1 ,..., xn )
                                    = p2 − λ ⋅                    =0
                                ∂x2                 ∂x2
 (2.16)                     M
                                ∂L             ∂U ( x1 ,..., xn )
                                    = pn − λ ⋅                    =0
                                ∂xn                 ∂xn
                                ∂L
                                   = U − U ( x1 ,..., xn ) = 0
                                ∂λ
Напомним, что в данной системе уравнений p1 ,..., pn , U = const . Решив эту систему уравнений, мы
                            *     *     *
найдём значения x1 , x2 ,..., xn , которые являются оптимальными количествами каждого из благ, то
есть такими количествами, которые минимизируют расходы потребителя на покупку товарного

набора, доставляющего ему полезность U .
     Разумеется условие первого порядка является лишь необходимым, но не достаточным условием
     минимума функции. Однако при наличии предпосылки о строгой выпуклости отношения

                                                                                                             29