Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 32 стр.

           при pi > 0, где i = 1,..., n, при U > U (0,...,0).


              *        *
     Здесь ( x1 ,..., xn ) – решение проблемы минимизации расходов при заданном уровне полезности.

Таким образом, функция расходов потребителя – E ( p1 ,..., pn , U ) – показывает минимальные
денежные затраты, которые должен сделать потребитель, чтобы достичь некоторого заданного
уровня полезности при определённых ценах, сложившихся на рынке.
     Легко видеть, что функция расходов является однородной степени 1 по ценам:

            E (α ⋅ p1 ,..., α ⋅ pn , U ) = α ⋅ p1 ⋅ x1* + ... + α ⋅ pn ⋅ xn* = α ⋅ E ( p1 ,..., pn , U )
 (2.22)
            ∀p1 ,..., pn , U > 0 и ∀ числа α > 0.

     Это свойство функции расходов означает, что увеличение цены каждого из благ в                      α   раз
     потребует увеличения уровня минимальных расходов потребителя тоже в α раз.
     Пример для самостоятельного рассмотрения. Предпочтения некоторого потребителя

описываются       функцией     полезности   Кобба-Дугласа:      U ( x1 , x2 ) = x1a ⋅ x12− a , где   0 < α < 1.
Сформулируйте проблему минимизации расходов потребителя при желаемом уровне полезности U .
Выведите функции компенсированного спроса и функцию расходов для данного потребителя.
     Формальная взаимосвязь между двойственными проблемами потребительского выбора.
Сравните выведенные функции компенсированного спроса с некомпенсированным спросом для
функции Кобба-Дугласа из предыдущего параграфа. Легко видеть, что в общем случае они
абсолютно различны, хотя условия максимизации полезности и минимизации расходов идентичны.
Но в одном случае оптимальный набор из первичной задачи и оптимальный набор из задачи,
двойственной к ней, будут идентичны. Это очень важное утверждение, которое понадобится нам при
выводе уравнения Слуцкого, поэтому сформулируем его подробно:

     1. Если x = ( x1 ,..., xn )
                   *       *    *
                                    является оптимальным потребительским набором в проблеме

максимизации полезности при доходе I > 0 , тогда x является оптимальным набором и в задаче
                                                           *


                                                                                       *    *
минимизации расходов, если требуемый уровень полезности есть U ( x1 ,..., xn ) . Кроме того,

минимальный уровень расходов в данной задаче в точности равен доходу потребителя – I – из
проблемы максимизации полезности.

     2. Если      x * = ( x1* ,..., xn* ) является оптимальным потребительским набором в задаче
                                                                                   *
минимизации расходов при требуемом уровне полезности U > 0, тогда x является оптимальным
                                                                                                *            *
набором и в проблеме максимизации полезности, если доход потребителя I = p1 ⋅ x1 + ... + pn ⋅ xn .


                                                                                                            32