Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 15 стр.

Раздел I. Механические колебания                                           15


       Для периодического движения фазовая траектория – замкнутая кривая. В
частности, фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой
семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия Е=Ер+Ек,
запасенная осциллятором. Покажем, что это действительно так. Координата и
скорость гармонического колебания изменяются по закону косинуса или синуса:
     x = xmax ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ o ) ,
     x& = − ω ⋅ xmax ⋅ sin (ω ⋅ t + ϕ o ) .
Чтобы найти уравнение фазовой траектории надо исключить из данных
уравнений время:
               2
     ⎛ x ⎞ ⎛              x& ⎞
     ⎜⎜     ⎟⎟ + ⎜⎜ −           ⎟⎟ = 1
        x
      ⎝ max ⎠ ⎝       ω ⋅ x max ⎠

– уравнение эллипса.
                        υ




                                         x     Рис. 5. Фазовая диаграмма
                                             гармонического осциллятора.




     Фазовые диаграммы затухающих колебаний представляют собой спирали,
скручивающиеся к началу координат тем быстрее, чем меньше добротность
системы (рис. 6):




                                         x     Рис. 6. Фазовая диаграмма
                                                затухающего колебания.




      Особое внимание, уделяемое в физике и технике гармоническому
движению, объясняется, прежде всего, тем, что существует громадное число
физических систем, совершающих гармоническое движение (с очень большой
степенью точности). Кроме того, периодическое негармоническое движение
можно свести к сумме гармонических движений, причем эти составные
движения доступны непосредственному наблюдению при помощи современной
аппаратуры.