Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГОСГИ | Коломна

Составители: 

Рубрика: 

16 Моделирование свободных колебаний
математического маятника
Лабораторная работа № 1.1.
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: моделирование свободных колебаний математического маятника.
Оборудование: апплет "Математический маятник" (Java Applets on Physics by Walter
Fendt http://home.augsburg.baynet.de/walter.fendt/), ЭТ MS Excel.
1. Свободные колебания
Колебания, возникающие в системе, выведенной из положения равновесия
и предоставленной самой себе, называют свободными. Эти колебания
совершаются только за счет первоначально сообщенной энергии, без
дальнейшего внешнего воздействия на колебательную систему.
Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния
энергии. Такие колебания будут незатухающими.
Уравнение свободных незатухающих колебаний, называемое уравнением
гармонического осциллятора, имеет вид:
0
2
=ω+ xx
o
&&
. (1)
Решением этого линейного дифференциального однородного уравнения будет
периодическая функция, изменяющаяся по гармоническому закону
()
oo
txx ϕ
+
ω⋅= cos
max
. (1а)
Свободные незатухающие колебания происходят с частотой ω
о
, называемой
собственной и определяемой параметрами колебательной системы.
В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивления
(трения), действие которых приводит к тому, что энергия системы постепенно
расходуется на нагревание окружающей среды и самой системы. В результате
амплитуда колебаний со временем уменьшается. Такие свободные колебания
называют затухающими.
Во многих практических случаях силу механического сопротивления
можно считать пропорциональной скорости:
υ⋅= fF
тр
или для проекции:
xf
t
x
fF
x
тр
&
⋅−=⋅−=
d
d
,
где f – коэффициент сопротивления. С учетом сопротивления (1) принимает
вид:
0
2
=⋅ω++ xx
m
f
x
o
&&&
или 02
2
=⋅ω+⋅β+ xxx
o
&&&
, (2)
где
β=
m
f
2
– коэффициент затухания, характеризующий быстроту затухания
колебаний. Аналитическим решением этого уравнения будет негармоническая
функция: 
 16                                         Моделирование свободных колебаний
                                                   математического маятника
                        Лабораторная работа № 1.1.
                МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
                    МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
 Цель работы:    моделирование свободных колебаний математического маятника.
 Оборудование: апплет "Математический маятник" (Java Applets on Physics by Walter
               Fendt http://home.augsburg.baynet.de/walter.fendt/), ЭТ MS Excel.
                           1. Свободные колебания
         Колебания, возникающие в системе, выведенной из положения равновесия
  и предоставленной самой себе, называют свободными. Эти колебания
  совершаются только за счет первоначально сообщенной энергии, без
  дальнейшего внешнего воздействия на колебательную систему.
         Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния
  энергии. Такие колебания будут незатухающими.
      Уравнение свободных незатухающих колебаний, называемое уравнением
гармонического осциллятора, имеет вид:
       &x& + ωo2 x = 0 .                                                     (1)
 Решением этого линейного дифференциального однородного уравнения будет
 периодическая функция, изменяющаяся по гармоническому закону
     x = xmax ⋅ cos(ωo t + ϕ o ) .                                  (1а)
 Свободные незатухающие колебания происходят с частотой ωо, называемой
 собственной и определяемой параметрами колебательной системы.
       В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивления
 (трения), действие которых приводит к тому, что энергия системы постепенно
 расходуется на нагревание окружающей среды и самой системы. В результате
 амплитуда колебаний со временем уменьшается. Такие свободные колебания
 называют затухающими.
       Во многих практических случаях силу механического сопротивления
 можно считать пропорциональной скорости:
      Fтр = f ⋅ υ
 или для проекции:
                   dx
      Fтр x = − f ⋅ = − f ⋅ x& ,
                   dt
 где f – коэффициент сопротивления. С учетом сопротивления (1) принимает
 вид:
           f
      &x& + x& + ωo2 ⋅ x = 0 или &x& + 2β ⋅ x& + ωo2 ⋅ x = 0 ,            (2)
           m
 где f       = β – коэффициент затухания, характеризующий быстроту затухания
         2m
 колебаний. Аналитическим решением этого уравнения будет негармоническая
 функция:

Страницы