Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 18 стр.

18                                       Моделирование свободных колебаний
                                                математического маятника
                        2. Математический маятник
     Одной из самых простых и распространенных моделей колебательных
систем является математический маятник: материальная точка массы m,
подвешенная на нерастяжимой нити длиной ℓ и совершающая колебания строго
в вертикальной плоскости. Возвращающей силой в этом случае является
проекция силы тяжести на касательную к траектории, по которой движется
материальная точка (рис. 1).




                                                  Рис. 1.
               ℓ                  Колебания математического маятника: θ(t) и
                                  x(t) – угловое и линейное смещение
                                  маятника от положения равновесия в
                   T              данный момент времени; h = l(1 − cos θ ) –
       h                          высота поднятия относительно нулевого
                                  уровня.
                   mg


           0    x(t)          x

      При малых углах отклонения от вертикали (θ<<1 рад, sin θ ≈ θ) эта сила
приближенно прямо пропорциональна смещению:
                                        x
     Fx = − mg ⋅ sin θ ≈ − mg ⋅ θ = − mg .                                (4)
                                        l
Здесь x = l ⋅ θ – линейное смещение маятника из положения равновесия. Тогда
дифференциальное уравнение движения маятника
    d2 x      g
        2
          = −   ⋅ x = −ωo2 ⋅ x .                                 (5)
     dt       l
Круговая (циклическая) частота колебаний (называемая в этом случае
собственной)        принимается  равной ωo = g l , период колебаний
To = 2π ωo = 2π l g . Как видно, период колебаний и собственная частота
математического маятника не зависят от его массы. Решением (5) будет
периодическая функция
     x = xmax ⋅ cos(ωo ⋅ t + ϕ o ) ,                                (6)
описывающая гармонические колебания (математическая модель свободных
незатухающих колебаний математического маятника).
      При гармонических колебаниях кинетическая и потенциальная энергия
системы периодически изменяются, но полная механическая энергия замкнутой