Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 20 стр.

20                                                 Моделирование свободных колебаний
                                                          математического маятника
наличии трения в системе колебания маятника затухают (амплитуда колебаний
со временем уменьшается), и величина β характеризует быстроту этого
затухания. Если трение пренебрежимо мало, то в случае малых отклонений
(sinθ≈θ) (8) переходит в уравнение свободных незатухающих колебаний,
решением которого будет периодическая функция θ = θ max ⋅ cos(ωo t + ϕo ) .
      Решение (8) методом половинного интервала2 приводит к системе
уравнений (расчетные формулы)
       ⎧⎛ dθ ⎞             ⎛ dθ ⎞ ⎛ g                     f ⎛ dθ ⎞ ⎞ Δ t
       ⎪⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⋅ sin θ o + ⋅ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ;
       ⎪⎝ dt ⎠ 1 / 2 ⎝ dt ⎠ o ⎝ l                         m ⎝ dt ⎠ o ⎠ 2
       ⎪⎪ dθ                                     ⎛g                               ⎞
          ⎛ ⎞                ⎛ dθ ⎞                           f ⎛ dθ ⎞
        ⎨⎜ ⎟               ≈⎜ ⎟               − ⎜⎜ ⋅ sin θ i + ⋅ ⎜ ⎟              ⎟⎟ ⋅ Δt ; (9)
        ⎪ ⎝ d t ⎠ i +1 / 2   ⎝ dt ⎠  i −1 / 2    ⎝ l          m  ⎝ d t ⎠ i −1 / 2  ⎠
        ⎪                  ⎛ dθ ⎞
        ⎪θ i +1 ≈ θ i + ⎜ ⎟                 ⋅ Δt.
        ⎪⎩                 ⎝ dt ⎠ i +1 / 2
Первое уравнение (используется только один раз!) позволяет определить
скорость тела dθ/dt в середине первого подинтервала времени, т.е. в момент
t1/ 2 = t o + Δt / 2 = Δt / 2 (начальный момент времени принимается равным нулю).
Второе уравнение используется для вычисления скорости в середине каждого
следующего подинтервала, т.е. в моменты t3 / 2 , t5 / 2 , …, ti +1/ 2 = ti −1/ 2 + Δt ,…, а
третье – для вычисления координаты в конце каждого подинтервала (в
моменты времени t1 , t 2 , …, ti +1 = ti + Δt , …). Из анализа (9) видно, что, в
отличие от аналитического решения (6), численное решение не позволяет
1) установить вид функциональных зависимостей dθ/dt(t) и θ(t), и 2) рассчитать
значение координаты или скорости в произвольный момент времени, т.к.
уравнения (9) вообще не содержат переменную t.

                   Порядок выполнения работы
Задание № 1. Работа с компьютерной моделью                             "Математический
             маятник"
     1. Открыть апплет "Математический маятник" (папка С:\Виртуальный практикум
Колебания и волны\Апплеты для курса Колебания и волны). В правой части окна апплета
расположены кнопки, а также различные поля – ввода и выбора, – позволяющие
управлять демонстрацией (рис. 3).
      Запуск демонстрации осуществляется кнопкой START. В нижней части
окна апплета выводятся значения периода (Oscillation Period) и амплитуды
колебаний (Max. Elongation) для установленных параметров маятника (его длины,
массы и начального отклонения от положения равновесия). Вид выводимого
графика и дополнительные элементы рисунка (траектория движения, вектор
скорости или тангенциального ускорения, действующие на маятник силы,

2
    Подробнее см. Введение. Решение дифференциальных уравнений численным методом.