Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГОСГИ | Коломна

Составители: 

Рубрика: 

Моделирование свободных колебаний 19
математического маятника
системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, остается неизменной. В
результате происходит периодическое превращение кинетической энергии в
потенциальную и наоборот.
Получим уравнение колебаний, используя основное уравнение динамики
вращательного движения:
∑
=
θ
⋅
i
i
M
t
J
2
2
d
d
, (7)
где
2
lm
J
= − момент инерции математического маятника, а
∑
i
i
M −
алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, относительно
неподвижной оси вращения.
Усложним задачу и учтем, что при движении в вязкой среде маятник
испытывает действие силы сопротивления (рис. 2). Распишем вращательные
моменты, создаваемые силой тяжести (М
1
) и силой сопротивления (М
2
), в
предположении, что сила сопротивления прямо пропорциональна скорости
1
:
θ⋅⋅−= sin
1
lmgM ,
2
2
d
d
l⋅
θ
−=
t
fM ,
где f – коэффициент сопротивления.
mg
ℓ
F
сопр
T
Рис. 2.
Тогда (7) перепишется в виде:
2
2
2
2
d
d
sin
d
d
lll ⋅
θ
⋅−θ⋅−=
θ
⋅
t
fmg
t
m
, откуда
ttm
fg
t
o
d
d
2sin
d
d
sin
d
d
2
2
2
θ
⋅β−θ⋅ω−=
θ
⋅−θ⋅−=
θ
l
, (8)
где
2
o
ω − собственная циклическая частота колебаний маятника,
m
f
2
=β −
коэффициент затухания. Мы получили уравнение свободных затухающих
колебаний математического маятника (математическая модель процесса). При
1
Сила натяжения не создает вращательный момент. 
Моделирование свободных колебаний                                                                   19
математического маятника
системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, остается неизменной. В
результате происходит периодическое превращение кинетической энергии в
потенциальную и наоборот.
      Получим уравнение колебаний, используя основное уравнение динамики
вращательного движения:
           d2 θ
        J ⋅ 2 = ∑Mi ,                                                                               (7)
           dt   i


где J = ml 2 − момент инерции математического маятника, а                              ∑M   i
                                                                                                i    −
алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, относительно
неподвижной оси вращения.
       Усложним задачу и учтем, что при движении в вязкой среде маятник
испытывает действие силы сопротивления (рис. 2). Распишем вращательные
моменты, создаваемые силой тяжести (М1) и силой сопротивления (М2), в
предположении, что сила сопротивления прямо пропорциональна скорости1:
                                         dθ 2
      M 1 = − mg ⋅ l ⋅ sin θ , M 2 = − f    ⋅l ,
                                         dt
где f – коэффициент сопротивления.




                             ℓ
                                                                        Рис. 2.
                                 T


                                       Fсопр

                                 mg

                                               d2 θ                       dθ 2
Тогда (7) перепишется в виде: ml 2 ⋅                = − mgl ⋅ sin θ − f ⋅    ⋅ l , откуда
                                               dt2                        dt
        d2 θ     g           f dθ                        dθ
             = −   ⋅ sin θ −   ⋅  = − ω 2
                                        o ⋅ sin θ − 2β ⋅    ,                                       (8)
        dt2      l           m dt                        dt
                                                                    f
где ωo2 − собственная циклическая частота колебаний маятника, β =      −
                                                                  2m
коэффициент затухания. Мы получили уравнение свободных затухающих
колебаний математического маятника (математическая модель процесса). При
1
    Сила натяжения не создает вращательный момент.

Страницы