Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 17 стр.

Моделирование свободных колебаний                                        17
математического маятника

    x = xo e −βt ⋅ cos(ωt + ϕ o ) ,                                     (2а)
где ω = ωo2 − β 2 – частота затухающих колебаний. Амплитуда затухающих
колебаний A = xo e −βt , как видно, монотонно убывает со временем, и в этом
смысле затухающие колебания нельзя назвать периодическими, т.к. состояние
системы никогда в точности не повторяется. Однако, поскольку тело
периодически (через равные промежутки времени) проходит через положение
равновесия, эти колебания можно характеризовать некоторым условным
периодом, называемым периодом затухающих колебаний:
        2π     2π               2π                To
     T=    =             =                 =              > To ,         (3)
        ω     ωo − β       ωo 1 − (β ωo )    1 − (β ωo )
                2      2                 2              2


где То – период собственных незатухающих колебаний.
      Экспоненциальный характер убывания амплитуды позволяет ввести
безразмерный параметр – логарифмический декремент затухания λ, который
равен логарифму отношения двух амплитудных значений колеблющейся
величины, разделенных одним периодом:,
             A(t )         e −βt
    λ = ln           = ln −β(t +T ) =βТ,
           A(t + T )     e
и может быть представлен как произведение коэффициента затухания на
период. В свою очередь, это произведение есть величина, обратная числу
полных колебаний N e , совершаемых за время, в течение которого амплитуда
убывает в е раз (е – основание натурального логарифма е≈2,718). Таким
образом, логарифмический декремент затухания характеризует относительную
убыль амплитуды затухающих колебаний.
      Если трение велико, то система, выведенная из положения равновесия,
возвращается в него, не совершая колебаний (критическое затухание). Такое
движение называют апериодическим. В случае малого затухания колебательный
характер    сохраняется. "Качество" колебательной       системы   принято
характеризовать безразмерным параметром, называемым добротностью Q.
Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии Е(t) к энергии
ΔЕТ, теряемой за период, т.е. определяет относительную убыль энергии
колебаний за период
            E (t )
     Q = 2π        .
            ΔET
Можно показать, что при малых колебаниях добротность связана с
логарифмическим декрементом простым соотношением:
        π
     Q = = π ⋅ Ne .
        λ
Очевидно, чем выше добротность системы, тем дольше существуют в ней
затухающие колебания.