Электрический ток в наноструктурах: кулоновская блокада и квантовые точечные контакты. Щелкачёв Н.М - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

— полные вероятности соответствующих изменений числа электро-
нов на островке в единицу времени (при этом неважно, через какой
из двух контактов пришёл или ушёл электрон), мы можем записать
кинетическое уравнение, которому p(n) удовлетворяет в общем слу-
чае:
dp(n)
dt
= p( n+1)Γ
n+1→n
+p(n−1)Γ
n−1→n
−(Γ
n→n+1
+ Γ
n→n−1
) p(n).
(22)
Точнее говоря, это уравнение нужно записать при каждом n, что
даёт сцепленную систему уравнений. Правая часть уравнения (22)
содержит приходные члены (из соседних состояний) и уходные чле-
ны (соответствующие переходам в соседние состояния).
В стационарном режиме (режиме установившегося тока) p(n)
не зависит от времени, тогда производная в левой части (22) равна
нулю, и мы получаем разностное уравнение, из которого можно
найти p(n):
p(n+1)Γ
n+1→n
+p(n−1)Γ
n−1→n
−p(n) (Γ
n→n+1
+ Γ
n→n−1
) = 0 (23)
с граничными условиями p(n → ±∞) = 0 и условием нормировки
∑
n
p(n) = 1. Уравнение (23) можно упростить, предполагая, что
все состояния с номером больше некоторого (достаточно большого)
n
0
«запрещены», т. е. эти состояния нельзя заполнять и в них нельзя
переходить: p(n) = 0 и Γ
n−1→n
= 0 при n > n
0
. Тогда, подставив
граничное значение n = n
0
в уравнение (23), находим
p(n
0
− 1)Γ
n
0
−1→n
0
= p(n
0
)Γ
n
0
→n
0
−1
. (24a)
Далее, записав (23) для n = n
0
− 1, получим
p(n
0
− 2)Γ
n
0
−2→n
0
−1
= p( n
0
− 1)Γ
n
0
−1→n
0
−2
. (24b)
По индукции можно доказать, что (23) эквивалентно условию «де-
тального равновесия» для любой пары соседних состояний:
11
p(n)Γ
n→n+1
= p(n + 1)Γ
n+1→n
(25)
— это соотношение говорит о том, что в стационарном режиме меж-
ду двумя соседними состояниями в среднем переходов нет (т. к. пе-
реходы туда и обратно происходят с одинаковой частотой).
11
Результат — условие детального равновесия — не зависит от выбора n
0
.
Вообще, в конце нашего рассуждения можно устремить n
0
→ ∞.
22
— полные вероятности соответствующих изменений числа электро-
нов на островке в единицу времени (при этом неважно, через какой
из двух контактов пришёл или ушёл электрон), мы можем записать
кинетическое уравнение, которому p(n) удовлетворяет в общем слу-
чае:
dp(n)
      = p(n+1)Γn+1→n +p(n−1)Γn−1→n −(Γn→n+1 + Γn→n−1 ) p(n).
  dt
                                                              (22)
Точнее говоря, это уравнение нужно записать при каждом n, что
даёт сцепленную систему уравнений. Правая часть уравнения (22)
содержит приходные члены (из соседних состояний) и уходные чле-
ны (соответствующие переходам в соседние состояния).
   В стационарном режиме (режиме установившегося тока) p(n)
не зависит от времени, тогда производная в левой части (22) равна
нулю, и мы получаем разностное уравнение, из которого можно
найти p(n):
 p(n+1)Γn+1→n +p(n−1)Γn−1→n −p(n) (Γn→n+1 + Γn→n−1 ) = 0 (23)
с граничными условиями p(n → ±∞) = 0 и условием нормировки
∑
   n p(n) = 1. Уравнение (23) можно упростить, предполагая, что
все состояния с номером больше некоторого (достаточно большого)
n0 «запрещены», т. е. эти состояния нельзя заполнять и в них нельзя
переходить: p(n) = 0 и Γn−1→n = 0 при n > n0 . Тогда, подставив
граничное значение n = n0 в уравнение (23), находим
                p(n0 − 1)Γn0 −1→n0 = p(n0 )Γn0 →n0 −1 .           (24a)
Далее, записав (23) для n = n0 − 1, получим
            p(n0 − 2)Γn0 −2→n0 −1 = p(n0 − 1)Γn0 −1→n0 −2 .       (24b)
По индукции можно доказать, что (23) эквивалентно условию «де-
тального равновесия» для любой пары соседних состояний:11
                   p(n)Γn→n+1 = p(n + 1)Γn+1→n                     (25)
— это соотношение говорит о том, что в стационарном режиме меж-
ду двумя соседними состояниями в среднем переходов нет (т. к. пе-
реходы туда и обратно происходят с одинаковой частотой).
 11 Результат — условие детального равновесия — не зависит от выбора n .
                                                                      0
Вообще, в конце нашего рассуждения можно устремить n0 → ∞.


                                  22

Страницы