Механика. Щербаченко Л.А. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

129
Сила Кориолиса в (45) вносит малую поправку в движение без ее учета.
Поэтому в качестве первого приближения можно написать:
gr
r
&&
r
=
′
, tgur
r
s
&
r
+=
′
(46)
где u
r
– скорость при 0
=
t . Напомним, что вектор g
r
направлен по
вертикали вниз. Подставляя vr
′
=
′
&
r
из , получаем уравнение движения с учётом
поправки на силу Кориолиса:
(
)
tgugr
r
r
r
r
&&
r
+×−=
′
ω2
(47)
Решение этого уравнения при начальных условиях
o
rr
r
r
=
′
и ur
r
&
r
=
′
находится двумя квадратурами:
+×−+=
′
2
2
2
tg
tutgur
r
r
r
rr
&
r
ω (48)
+×−+=
′
32
3
2
2
tg
tu
tg
tur
r
r
r
r
rr
ω (49)
Член
+×
3
3
2
tg
tu
r
r
r
ω
дает поправку в координатах тела, обусловленную
силами Кориолиса.
Вычислим отклонение тела от вертикали при свободном падении. Ось Z
направим по вертикали, ось У – по параллели на восток. При 0
=
t имеем
0
=
x ,
0
=
y
, hz
=
и из (49) получаем:
0
=
x ,
3
3
cos
gty
ϕ
ω
= ,
2
2
gt
hz −= (50)
Следовательно, в точке падения 0
=
z отклонение тела от основания
вертикали дается формулой:
ghy
3
8
3
cos
ϕ
ω
= (51)
Это отклонение очень мало. Например, при мh 100
=
мy 022,0cos
⋅
=
ϕ
.
При движении тела по почти горизонтальной траектории с большой ско-
ростью (например, при полете пули) можно в (49) пренебречь членом с
3
3
gt
в сравнении с членом, содержащим
2
ut , и написать:
uituit
tg
turr
zxo
r
r
r
r
r
rrr
×⋅−×⋅+++
′
=
′
ϕωϕω sincos
2
22
2
(52)
Член описывает отклонение по вертикали, обусловленное силой
Кориолиса, а член uit
x
r
r
×⋅ϕω cos
2
– отклонение в горизонтальной плоско-
сти. В северном полушарии
0sin
>
ϕ
и отклонение происходит вправо от
направления скорости, в южном – влево.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
               Сила Кориолиса в (45) вносит малую поправку в движение без ее учета.
               Поэтому в качестве первого приближения можно написать:
              &rr&′ = gr , rr& ′ = us + grt                                            (46)
                                r                                            r
                     где u – скорость при t = 0 . Напомним, что вектор g направлен по
                                            r r
            вертикали вниз. Подставляя r& ′ = v ′ из , получаем уравнение движения с учётом
            поправки на силу Кориолиса:
                    r r        r r r
                   r&&′ = g − 2ω × (u + gt )                                                (47)
                                                                  r r         r r
                   Решение этого уравнения при начальных условиях r ′ = ro и r& ′ = u
            находится двумя квадратурами:
                                                 r
                    r r r           r  r gt 2 
                   r& ′ = u + gt − 2ω ×  ut +                                             (48)
                                                 2 
                               r                   r
                    r r gt 2 r  r 2 gt 3 
                   r ′ = ut +      − ω ×  u t +                                           (49)
                                2                  3 
                                          r
                             r  r 2 gt 3 
                   Член ω ×  u t +            дает поправку в координатах тела, обусловленную
                                          3 
            силами Кориолиса.
                    Вычислим отклонение тела от вертикали при свободном падении. Ось Z
            направим по вертикали, ось У – по параллели на восток. При t = 0 имеем
            x = 0 , y = 0 , z = h и из (49) получаем:

                             ω cos ϕ 3           gt 2
                    x=0, y =        gt , z = h −                                            (50)
                                3                 2
                 Следовательно, в точке падения z = 0 отклонение тела от основания
            вертикали дается формулой:
                         ω cosϕ
                    y=          8h 3 g                                                      (51)
                            3
                   Это отклонение очень мало. Например, при h = 100 м y = cos ϕ ⋅ 0,022 м .
                   При движении тела по почти горизонтальной траектории с большой ско-
                                                                                             gt 3
            ростью (например, при полете пули) можно в (49) пренебречь членом с
                                                                                              3
            в сравнении с членом, содержащим ut 2 , и написать:
                             r                 r r                    r r
               r r r gt 2
                ′    ′
               r = ro + ut +    + ωt 2 cos ϕ ⋅ i x × u − ωt 2 sin ϕ ⋅ i z × u               (52)
                              2
              Член описывает отклонение  r r
                                                  по вертикали, обусловленное силой
            Кориолиса, а член ωt cos ϕ ⋅ i x × u – отклонение в горизонтальной плоско-
                                 2


            сти. В северном полушарии sin ϕ > 0 и отклонение происходит вправо от
            направления скорости, в южном – влево.




                                                                                             129

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы