Механика. Щербаченко Л.А. - 131 стр.

            означает, что f ′(0) < 0 . Если f ′(0) = 0 , то надо обратиться к третьему члену,
            пропорциональному x 3 . Он должен быть равным нулю, если точка x = 0
            является     точкой         устойчивого равновесия. Это следует из того
            обстоятельства, что этот член имеет один и тот же знак как при положи-
            тельных, так и отрицательных значениях х. Поэтому сила, представляемая
            им, при отклонении точки в одну сторону от положения равновесия
            стремится ее возвратить обратно, но при отклонении в другую сторону,
            наоборот, стремится ее удалить от этого положения. Следовательно, если бы
            этот член не был равен нулю, точка x = 0 не могла бы быть точкой устой-
            чивого равновесия. Поэтому этот член должен быть равным нулю, т. е.
             f ′′(0) = 0
                     Таким образом, следующим не равным нулю членом может быть
              3
                f ′′′(0 ) . При анализе малых отклонений в случае f ′(0) = 0 его необходимо
             x
             3!
            использовать в качестве выражения для силы. Хотя он несколько сложнее
            члена xf ′(0) , но все же достаточно прост в сравнении с исходной
            функцией f(x). В этом случае колебания значительно усложняются, они
            становятся нелинейными. Основные особенности этих колебаний мы
            рассмотрим позднее.
                 Обычно в реальных физических системах отличным от нуля бывает
            член xf ′(0) , а уравнение движения для малых отклонений х от положения
            равновесия имеет следующий вид:
                       d 2x
                     m      = xf ′(0 ) = − Dx                                            (2)
                       dt 2
                     где учтено, что f ′(0) < 0 и обозначено D = − f ′(0) > 0 .
                  Такого рода уравнение получается при рассмотрении многих
            физических явлений. В данном примере х является расстоянием от положения
            равновесия. Однако в качестве х мог бы быть, например, заряд конденсатора,
            включенного в цепь с индуктивностью. Если физические факторы таковы, что
            стремятся восстановить нулевое значение заряда на конденсаторе, то
            уравнение для малых отклонений заряда от нуля имеет вид (2).
                  Уравнение вида (2) называется уравнением гармонических колебаний,
            а система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или
            гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы
            может служить тело на упругой пружине (рис. 1в ) . По закону Гука, при
            растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила,
            пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со
            стороны пружины имеет вид F = − Dx , и мы приходим к уравнению линейного
            осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является
            моделью линейного осциллятора.
                  Если в разложении для силы наряду с членом, пропорциональным
            первой степени отклонения, сохранить также и член, пропорциональный х2
            или х3, приводящий к нелинейности колебаний, то получающаяся при этом


                                                                                         131

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com