Механика. Щербаченко Л.А. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

132
колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее
основные особенности будут рассмотрены ниже.
Другим примером линейного осциллятора являются физический и
математический маятники при достаточно малых углах отклонения. В
качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на
пружине (рис. 1в ), либо маятник.
Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях
ведут себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую
важность изучения его движения для всех областей физики.
Уравнение гармонических колебаний.
Уравнение (2) движения линейного осциллятора удобно представить в
таком виде:
0
2
=+ xx ω
&&
(3)
где 0
2
>=
m
D
ω . Производные по времени обозначаются точками.
Гармонические функции.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что частными решениями
уравнения (3) являются t
ω
sin и
t
ω
cos
. Это уравнение является линейным.
Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на
произвольную постоянную величину также составляет решение. Поэтому
общее решение уравнения (3) имеет вид:
(
)
tAtAtx
ω
cossin
21
+= (4)
где
1
A и
2
A – постоянные. Функция такого вида называется
гармонической.
Амплитуда, частота, фаза.
Выражение (4) целесообразно преобразовать к другому виду:
( ) ( )
ϕωωϕωϕ
ωωωω
+=+=
=
+
+
+
+=+
tAttA
t
AA
A
t
AA
A
AAtAtA
sincossinsincos
cossincossin
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
121
(5)
Где положено
2
2
2
1
1
cos
AA
A
+
=ϕ ,
2
2
2
1
2
sin
AA
A
+
=ϕ , и введено обозначение
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее
            основные особенности будут рассмотрены ниже.
                  Другим примером линейного осциллятора являются физический и
            математический маятники при достаточно малых углах отклонения. В
            качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на
            пружине (рис. 1в ) , либо маятник.
                  Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях
            ведут себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую
            важность изучения его движения для всех областей физики.


                                 Уравнение гармонических колебаний.
                 Уравнение (2) движения линейного осциллятора удобно представить в
            таком виде:
                 &x& + ω 2 x = 0                                               (3)
                               D
                   где ω 2 =     > 0 . Производные по времени обозначаются точками.
                               m


                                              Гармонические функции.
                 Непосредственной проверкой убеждаемся, что частными решениями
            уравнения (3) являются sin ωt и cos ωt . Это уравнение является линейным.
            Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на
            произвольную постоянную величину также составляет решение. Поэтому
            общее решение уравнения (3) имеет вид:
                  x(t ) = A1 sin ωt + A2 cos ωt                                   (4)
                 где A1 и A2 – постоянные. Функция такого вида называется
            гармонической.


                                     Амплитуда, частота, фаза.
                   Выражение (4) целесообразно преобразовать к другому виду:
                                                                                                
                   A1 sin ωt + A2 cos ωt = A12 + A22                                     cos ωt  =
                                                              A1                   A2
                                                                      sin ωt +
                                                        A2 + A2                A12 + A22           (5)
                                                        1         2                             
                   = A(cos ϕ sin ωt + sin ϕ cos ωt ) = A sin (ωt + ϕ )
                                                     A                      A
                   Где положено cos ϕ = 2 1 2 , sin ϕ = 2 2 2 , и введено обозначение
                                                 A1 + A2                  A1 + A2




                                                                                                    132

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы